В математике аппроксимацио́нной теоремой Вейерштра́сса (Стоуна — Вейерштрасса) называют теорему, утверждающую, что для любой непрерывной функции на отрезке можно подобрать последовательность многочленов, равномерно сходящихся к этой функции на отрезке.

Формулировка

Пусть — непрерывная функция, определённая на отрезке . Тогда для любого существует такой многочлен с вещественными коэффициентами, что для любого из выполнено условие .^[1]

Теорема справедлива и для комплекснозначных функций, но тогда коэффициенты полинома следует считать комплексными числами.

Схема доказательства Вейерштрасса

Теорема была установлена Карлом Вейерштрассом в 1885 году^[2] как следствие более общего утверждения:

Пусть при каждом вещественном значении переменной является однозначно определенной, вещественной и непрерывной функцией, абсолютное значение которой не превосходит некоторой границы... Пусть обладает теми же свойствами, что и , и к тому же нигде не меняет своего знака, удовлетворяет равенству и для нее сходится интеграл

,

который можно обозначить как . Если положить

,

то

.

Из прямого доказательства сразу следует, что предел не только существует и равен , но и что сходимость равномерная по , меняющемся на любом конечном отрезке.

Взяв в качестве

,

видим, что вполне определены при всех комплексных и являются целыми функциями. Поэтому их можно равномерно в круге любого радиуса приблизить полиномами (одна из теорем Абеля). Отсюда сразу следует, что любую непрерывную функцию можно равномерно приблизить полиномами на любом конечном интервале. Для установления теоремы в сформулированной выше форме достаточно заметить, что любую функцию, заданную и непрерывную на отрезке, можно непрерывно продолжить на всю вещественную ось.

Более того. Если к тому же периодическая функция с периодом , то являются целыми периодическими функциями. Но тогда

является однозначной и голоморфной функцией в области и, следовательно, разлагается в ряд Лорана

,

поэтому , а значит и можно приблизить тригонометрическими полиномами.

Произвольные функции и их аналитическое представление

В середине XIX века представление о функции как аналитическом выражении казалось полностью изжившим себя, а Анализ занимался произвольными функциями. Герман Ханкель определил их наиболее четко:

О функции от говорят, когда каждому значению переменной , [лежащей] внутри некоторого интервала, соответствует определенное значение ; при этом не существенно, зависит ли от во всем интервале по одному закону, и может ли эта зависимость быть выраженной при помощи математических операций.^[3]

Фраза «не существенно … может ли эта зависимость быть выраженной при помощи математических операций» призвана подчеркнуть, что не всякая функция может быть представлена при помощи аналитического выражения. В ответ на это Вейерштрасс и написал работу «Об аналитическом представлении так называемых произвольных функций», в которой было показано, что произвольная непрерывная функция суть предел полиномов. В дальнейшем выяснилось, что и самые «патологические» функции, например, функция Дирихле, допускают такого рода представления, но лишь с большим числом предельных переходов.

Другие применения

Согласно этой теореме, пространство непрерывных вещественно- или комплекснозначных функций на отрезке с равномерной нормой сепарабельно: пространство многочленов с рациональными или комплексно-рациональными коэффициентами является требуемым счётным всюду плотным подпространством.

См. также

• Теорема Данжуа — Лузина
• Аппроксимационная проблема Бернштейна

Ссылки

1. ↑ Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 3, п. 734
2. ↑ Weierstrass K. // Math. Werke. Bd. 3. P. 1.
3. ↑ Цит. по Koenig F. Kommentierender Anhang // Klein F. Funktionentheorie. Teubner, 1987. S. 261