Индикатор, или характеристическая функция, или индикаторная функция подмножества — это функция, определённая на множестве , которая указывает на принадлежность элемента подмножеству .
Так как термин «характеристическая функция» уже занят в теории вероятностей, термин «индикаторная функция» чаще всего используется в контексте теории вероятностей, для других областей чаще используется термин «характеристическая функция».
Для аналитического представления индикаторной функции нередко используется функция Хевисайда.
Содержание |
Пусть — выбранное подмножество произвольного множества . Функция , определённая следующим образом:
называется индикатором множества .
Альтернативными обозначениями индикатора множества являются: или , а иногда даже . Нотация Айверсона позволяет обозначение .
(Греческая буква происходит от начальной буквы греческого написания слова характеристика.)
Предупреждение. Обозначение может означать функцию идентичности.
Отображение, которое связывает подмножество с его индикатором инъективно. Если и — два подмножества , то
Более общо, предположим — это набор подмножеств . Ясно, что для любого
— произведение нулей и единиц. Это произведение принимает значение 1 точно для тех , которые не принадлежат ни одному множеству и 0 иначе. Поэтому
Разворачивая левую часть, получаем
где — мощность . Это одна из форм принципа включения-исключения. Этот пример указывает, что индикатор — полезное обозначение в комбинаторике, которое используется также и в других областях, например в теории вероятностей: если — вероятностное пространство с вероятностной мерой , а — измеримое множество, то индикатор становится случайной величиной, чье математическое ожидание равно вероятности
Это тождество используется в простых доказательствах неравенства Маркова.
Индикатор (математика).