Интерполяцио́нный многочле́н Лагра́нжа — многочлен минимальной степени, принимающий данные значения в данном наборе точек. Для n+1 пар чисел (x₀, y₀), (x₁, y₁),…, (x_n, y_n), где все x_j различны, существует единственный многочлен L(x) степени не более n, для которого L(x_j) = y_j.

В простейшем случае (n=1) — это линейный многочлен, график которого — прямая, проходящая через две заданные точки.

§Определение

Лагранж предложил способ вычисления таких многочленов:

где базисные полиномы определяются по формуле:

l_i(x) обладают следующими свойствами:

• являются многочленами степени n
• l_i(x_i) = 1
• l_i(x_j) = 0 при j ≠ i

Отсюда следует, что L(x), как линейная комбинация l_i(x), может иметь степень не больше n, и L(x_i) = y_i.

§Пример

Найдем формулу интерполяции для f(x) = tan(x) имеющей следующие значения:

Получим

§Применения

Используя полином Лагранжа можно показать, что

если , то первые два по старшинству коэффициента многочлена

Указанная выше сумма задаёт биективное отображение между и

Полиномы Лагранжа используются для интерполяции, а также для численного интегрирования.

Пусть для функции f(x) известны значения y_i=f(x_i) в некоторых точках. Тогда мы можем интерполировать эту функцию как

В частности,

Значения интегралов от l_i не зависят от f(x), и их можно вычислить заранее, зная последовательность x_j.

§Случай равномерного распределения узлов интерполяции

В случае равномерного распределения узлов интерполяции x_j выражаются через расстояние между узлами интерполяции h и начальную точку x₀:

,

и, следовательно,

Подставив эти выражения в формулу базисного полинома и вынеся h за знаки перемножения в числителе и знаменателе, получим

Теперь можно ввести замену переменной

и получить полином от y, который строится с использованием только целочисленной арифметики. Недостатком данного подхода является факториальная сложность числителя и знаменателя, что требует использования длинной арифметики.

§См. также

• Схема Эйткена
• Интерполяционные формулы Ньютона
• Интерполяция с кратными узлами
• Схема разделения секрета Шамира

§Ссылки

• М. А. Тынкевич Глава 7.6.1. Интерполяционный многочлен Лагранжа // Численные методы анализа. — Кемерово, 2002. — ISBN 5-89070-042-1.
• А. Г. Хованский. Полиномы Лагранжа и их применения. Видео-лекция. VI Летняя школа «Современная математика», Дубна, 2006.