Основна́я теоре́ма арифме́тики утверждает:
|
Каждое натуральное число представляется в виде , где — простые числа, причём такое представление единственно с точностью до порядка следования сомножителей. |
Единицу можно также считать произведением нулевого количества простых чисел, «пустым произведением».
Как следствие, каждое натуральное число единственным образом представимо в виде
Такое представление числа называется его каноническим разложением на простые сомножители.
Содержание |
Доказательство основной теоремы арифметики опирается на лемму Евклида:
|
Если простое число делит без остатка произведение двух целых чисел , то делит или . |
Существование. Пусть — наименьшее натуральное число, неразложимое в произведение простых чисел. Оно не может быть единицей по формулировке теоремы. Оно не может быть и простым, потому что любое простое число является произведением одного простого числа — себя. Если составное, то оно — произведение двух меньших натуральных чисел. Каждое из них можно разложить в произведение простых чисел, значит, тоже является произведением простых чисел. Противоречие.
Единственность. Пусть — наименьшее натуральное число, разложимое в произведение простых чисел двумя разными способами. Если оба разложения пустые — они одинаковы. В противном случае, пусть — любой из сомножителей в любом из двух разложений. Если входит и в другое разложение, мы можем сократить оба разложения на и получить два разных разложения числа , что невозможно. А если не входит в другое разложение, то одно из произведений делится на , а другое — не делится (как следствие из леммы Евклида, см. выше), что противоречит их равенству.
В «Началах» Евклида эта теорема отсутствует. Вероятно тогда (и позднее) она воспринималась как самоочевидный факт. Первая её точная формулировка и доказательство приводятся в книге К. Ф. Гаусса «Арифметические исследования», изданной в 1801 году.
Каноническое разложение.