Мощность множества, или кардинальное число множества, — это обобщение понятия количества (числа) элементов множества, которое имеет смысл для всех множеств, включая бесконечные.

Для мощностей множеств можно ввести отношение частичного порядка: если множество A равномощно некоторому подмножеству множества B (то есть между элементами этих множеств A и B можно установить взаимно однозначное соответствие), но при этом множество B неравномощно никакому подмножеству множества A, то говорят, что мощность множества B больше мощности множества A.

Среди бесконечных множеств наименьшую мощность имеет натуральный ряд ( говорят, что множество натуральных чисел — это счётное множество).

Следуя Кантору, мощность множества называется кардинальным числом. Мощность множества обозначается через (сам Кантор использовал обозначение ). Иногда встречаются обозначения и .

Определение

Два множества называются равномощными, если между ними существует биекция. Существование биекции между множествами есть отношение эквивалентности, а мощность множества — это соответствующий ему класс эквивалентности. Класс множеств, биективно эквивалентных данному, не является, однако, множеством (подробнее о классах см. в книге: Келли. Общая топология. (Приложение в конце книги)).

Пример

Множество чётных целых чисел имеет такую же мощность, что и множество целых чисел . Определим так: .    — биекция, поэтому

Свойства

• Два конечных множества равномощны тогда и только тогда, когда они состоят из одинакового числа элементов. То есть для конечного множества понятие мощности совпадает с привычным понятием количества.
• Для бесконечных множеств мощность множества может совпадать с мощностью своего собственного подмножества, например .
  • Более того, множество бесконечно тогда и только тогда, когда оно содержит равномощное собственное (то есть не совпадающее с основным множеством) подмножество.
• Теорема Кантора гарантирует существование более мощного множества для любого данного: Множество всех подмножеств множества A имеет большую мощность, чем A, или .
• С помощью канторова квадрата можно также доказать следующее полезное утверждение: Декартово произведение бесконечного множества A с самим собой равномощно A.
• Мощность декартова произведения:

• Формула включения-исключения в простейшем виде:

Связанные определения

Мощность множества натуральных чисел обозначается символом («алеф-нуль»). Множество называется бесконечным, если его мощность , таким образом, счётные множества — это «самые маленькие» из бесконечных множеств. Следующие кардинальные числа в порядке возрастания обозначаются (где индекс пробегает все порядковые числа). Среди кардинальных чисел нет наибольшего: для любого множества кардинальных чисел существует кардинальное число, большее всех элементов этого множества.

Про множества, равномощные множеству всех вещественных чисел, говорят, что они имеют мощность континуума, и мощность таких множеств обозначается символом . Предположение о том, что называется континуум-гипотезой.

Для мощностей, как и в случае конечных множеств, имеются понятия: равенство, больше, меньше. То есть для любых множеств и возможно только одно из трёх:

1. , или и равномощны;
2. , или мощнее , т. е. содержит подмножество, равномощное , но и не равномощны;
3. , или мощнее , в этом случае содержит подмножество, равномощное , но и не равномощны.

Ситуация, в которой и не равномощны и ни в одном из них нет части, равномощной другому, невозможна. Это следует из теоремы Цермело. Иначе это означало бы существование несравнимых между собой мощностей (что в принципе возможно, если не принимать аксиому выбора).

Ситуация, в которой и , невозможна по теореме Кантора — Бернштейна.

См. также

• Порядковое число

Литература

• А. А. Болибрух, Проблемы Гильберта (100 лет спустя), Глава 2 Первая проблема Гильберта: континуум-гипотеза, Библиотека «Математическое просвещение», Выпуск 2
• Р.Курант, Г.Роббинс, Что такое математика? Глава II, § 4.
• Факультативный курс по математике. 7-9 / Сост. И. Л. Никольская. — М.: Просвещение, 1991. — С. 109-110. — 383 с. — ISBN 5-09-001287-3