Кубика альба, кубика ницца 2, на гранях игрального кубика точками отмечены числа от 1 до 6 сумма 10, кубика 2700 петли

Кубика y² = x² · (x + 1). Параметризация: t → (t² − 1, t · (t² − 1))

Набор кубик

Ку́бика — плоская алгебраическая кривая 3-го порядка, то есть множество точек плоскости (проективной, аффинной, евклидовой), однородные координаты которых (относительно соответственно проективной, аффинной или декартовой системы координат) удовлетворяют уравнению третьей степени.

Классификация

Первая классификация кубик была дана Ньютоном в 1704 году^[1].

Ньютон доказал, что для любой кубики можно подобрать систему координат, в которой она будет иметь один из следующих видов:

Далее Ньютон поделил все кривые на классы, роды и типы, пропустив при этом однако 6 типов. Полную классификацию дал Плюккер^[2].

По состоянию на 2008 год, аналогичной классификации для кривых n-го порядка не найдено, эта задача составляет 16-ю проблему Гильберта.

Свойства

Теорема Шаля. Даны 2 кубики и , имеющие 9 общих точек. Если третья кубика С проходит через 8 из них, то она проходит и через девятую.
На кубике взяли точку , и провели из неё 2 касательных к кубике — одна касается кубики в точке , другая — в точке . Пусть площади сегментов, отсекаемых этими касательными от графика кубики, равны и . Тогда ^[3].
Известно, что некоторые кубики являются трисектрисами, то есть если на плоскости нарисован график такой кубики, и дан угол, то его можно разделить циркулем и линейкой на 3 равные части. Открытая проблема: любая ли кубика является трисектрисой?
Максимально возможное число компонент связности у графика кубики в есть 4. Например: у (график состоит из трёх удаляющихся на бесконечность кривых и одной изолированной точки).
Если прямая проходит через две точки перегиба кубики, то она проходит и через третью.
На кубиках можно ввести сложение точек и умножение их на число, получив тем самым алгебраическую структуру, называемую эллиптической кривой^[4]^[5].
Прямая пересекает кубику в точках . Касательные, восстановленные к кубике в точках , пересекают второй раз кубику в точках . Тогда точки также лежат на одной прямой^[6]^[7].

Применения

Кубические кривые применяются в языке PostScript, включая шрифты формата Type 1 (в TrueType используются только квадратичные кривые).
Изучение кубик долгое время считалось примером чистой математики (не имеющей никакого прикладного применения и перспективы такового). Однако, в последние 20 лет XX века были придуманы криптографические алгоритмы, использующие глубокие свойства кубик, которые сегодня используются (в частности) при банковском шифровании, что дало толчок изучению свойств кубик, см. Эллиптическая криптография.
Большое число замечательных точек треугольника складываются в несколько кубик^[8].
Морлей доказал известную теорему Морлея, изучая свойства кубик^[9].

См. также

Эллиптическая кривая

Примечания

[1]).

↑ Смогоржевский А. С., Столова Е. С. Справочник по теории плоских кривых третьего порядка. — М.: Физматгиз, 1961.

↑ Honsberger R. More Mathematical Morsels // Math. Assoc. Amer. — Washington, DC, 1991. — p. 114—118.

Алгебраическая геометрия и теория чисел: рациональные и эллиптические кривые. — М.: МЦНМО, 2010. — 48 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»). — ISBN 5-900916-71-5

Рациональные точки на эллиптических кривых // Соросовский образовательный журнал. — 1997. — № 10. — С. 138—143.

[2].

Cubic Curve (англ.) на сайте Wolfram [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11].

[12] и [13].

[14].

Ссылки

Библиотеки для интерактивного рисования кубик (без изолированых точек) на языках Flash [15] и Java [16].

Кубика альба, кубика ницца 2, на гранях игрального кубика точками отмечены числа от 1 до 6 сумма 10, кубика 2700 петли.

Krasorion.ru

Упаковочные материалы

Категории