Мнимая единица — комплексное число, квадрат которого равен отрицательной единице.
В математике, физике мнимая единица обозначается как латинская или . Она позволяет расширить поле вещественных чисел до поля комплексных чисел. Точное определение зависит от способа этого расширения.
Основной причиной введения мнимой единицы является то, что не каждое полиномиальное уравнение с вещественными коэффициентами имеет решения в поле вещественных чисел. Например, уравнение не имеет вещественных корней. Однако если предположить, что корнями являются комплексные числа, тогда это уравнение, как и любое другое полиномиальное уравнение, имеет решение.
Исторически мнимая единица была введена для решения кубического уравнения, так как если такое уравнение имеет три вещественных корня, для получения двух из них по формуле Кардано требуется брать комплексные значения используемых кубических корней.
Утверждение о том, что мнимая единица — это «квадратный корень из −1», не совсем корректно, так как −1 имеет два арифметических квадратных корня, один из которых можно обозначить как , а другой как . Какой именно корень принимать за мнимую единицу — неважно, все математические равенства сохраняют свою силу при одновременной замене всех на и на .
Содержание |
Мнимая единица — некоторое число, квадрат которого равен −1. Таким образом — это одно из решений уравнения
или
Если мы определим таким образом и будем считать её неизвестной («воображаемой», «мнимой») переменной, тогда вторым решением уравнения будет , что можно проверить подстановкой.
Степени i повторяются в цикле:
Что может быть записано для любой степени в виде:
где n — любое целое число.
Отсюда:
где mod 4 представляет остаток от деления на 4.
Число является вещественным :
В поле комплексных чисел корень n-ой степени имеет n решений. На комплексной плоскости эти корни находятся в вершинах правильного n-угольника, вписанного в окружность с единичным радиусом.
Это следует из формулы Муавра и того, что мнимая единица может быть представлена в тригонометрическом виде:
В частности, и
Также корни мнимой единицы могут быть представлены в показательном виде:
Мнимая единица.