Многочленом над конечным полем называется формальная сумма вида

Здесь — целое неотрицательное число, называемое степенью многочлена , а  — элементы алгебры над умножение которых задаётся правилами:

Такое определение позволяет умножать многочлены формально, не заботясь о том, что разные степени одного и того же элемента конечного поля могут совпадать.

Связанные определения

• Число называется степенью полинома и обозначается как .
• Если , то полином называется нормированным или унитарным. Полином всегда можно нормировать делением его на коэффициент при старшей степени.
• Сумма и произведение полиномов определены обычным образом, а операции с коэффициентами осуществляются в поле .
• Для двух полиномов и таких, что , всегда найдутся полиномы и над полем , что будет выполняться соотношение
  • Если степень строго меньше степени , то такое соотношение называется представлением полинома в виде частного и остатка от деления на , причем такое представление единственно. Ясно, что делится без остатка на , что записывается как .
  • Полином называется делителем полинома , если .
• Полином является неприводимым над полем , если он не имеет нетривиальных делителей (степени большей 0 и меньшей ).

Корни многочлена

Корнем называется всякий элемент поля, значение многочлена на котором равно нулю. Полином степени m имеет ровно m корней (с учётом кратности), принадлежащих некоторому расширенному полю . Если , где  — простое, то . Исходя из свойств конечных полей, любой элемент поля является корнем двучлена . Таким образом, корни многочлена также являются корнями двучлена .

Справедливы теорема Безу и следствия из неё:

Также справедлива следующая теорема:

Циклотомический класс

Следствием Теоремы 1 может быть тот факт, что, если  — корень полинома над полем , то и являются его корнями.

Определение: циклотомическим классом над полем , порождённым некоторым элементом называется множество всех различных элементов , являющихся -ыми степенями .

Если  — примитивный элемент (такой элемент, что и при ) поля , то циклотомический класс над полем будет иметь ровно элементов.

Следует отметить, что любой элемент из циклотомического класса может порождать этот и только этот класс, а, следовательно, и принадлежать только ему.

Примеры циклотомических классов

Пример 1. Пусть , и  — примитивный элемент поля , то есть и при . Учитывая также, что , можно получить разложение всех ненулевых элементов поля на три циклотомических класса над полем :

Пример 2. Аналогично можно построить классы на поле над полем , то есть . Пусть  — примитивный элемент поля , значит .

Связь с корнями полиномов

Следующая Теорема устанавливает связь между циклотомическими классами и разложением полинома на неприводимые полиномы над полем .

Можно установить такое следствие из Теоремы 2. Из свойства конечных полей, говорящего о том, что все ненулевые элементы поля являются корнями многочлена , можно заключить, что многочлен можно разложить на неприводимые над полем многочлены , каждый из которых соответствует своему циклотомичесому классу.

См. также

• Конечное поле