Нулева́я ма́трица — это матрица, размера все элементы которой равны нулю.

Признаки

Нулевая матрица, и только она, имеет ранг 0.

Это означает, что только нулевая матрица обладает свойством давать нулевой столбец при умножении справа на любой вектор-столбец, и аналогично для умножения на вектор-строки слева.

Другим следствием этого факта является нулёвость всех матриц размера m×0 и 0×n, вследствие того, что ранг матрицы m×n не превосходит min(m, n).

Свойства

• Произведение нулевой матрицы на любое число равно ей самой:

• Сумма матрицы и нулевой матрицы того же размера равна исходной матрице :

• Разница матрицы и нулевой матрицы того же размера равна исходной матрице :

• Произведение матрицы размера на нулевую матрицу размера равно нулевой матрице размера

• Квадратная нулевая матрица n×n при является вырожденной, и, как следствие, её определитель равен нулю:

  Таким образом, такие матрицы не имеет обратной. Неквадратная, впрочем, тоже не имеет, что неудивительно.

• Квадратная нулевая матрица является cимметричной, и, как следствие, её транспонированная матрица равна ей самой:

• Квадратная нулевая матрица является также косоcимметричной:

Только нулевая матрица является одновременно и cимметричной, и косоcимметричной.

• Последние два пункта дословно верны и в отношении эрмитовости и косоэрмитовости над полем комплексных чисел.

• Квадратная нулевая матрица является верхнетреугольной, нижнетреугольной и диагональной матрицей.

• Квадратная нулевая матрица является скалярной матрицей, и, следовательно, перестановочна с любой квадратной матрицей того же размера:

.

Все вышеизложенные свойства нулевой матрицы являются, так или иначе, следствием того обстоятельства, что нулевая матрица является аддитивным нейтральным элементом (в просторечии: нулём) линейного пространства матриц своего размера, а значит она (и только она) принадлежит любому линейному подпространству. Ну заодно и нулём алгебры матриц, если матрица квадратная.

Несмотря на это, нулевая матрица имеет и нетривиальные свойство, касающееся ненулевых делителей. Вообще-то их сколько угодно, хоть справа, хоть слева, но точное определение «скольких угодно» зависит от того, в пространстве матриц какого размера мы будем их искать. Па́ры ненулевых матриц M размера m×l и N размера l×n таких, что существуют тогда и только тогда, когда . Для существования l=0 недостаточно уже по той причине, что среди матриц размером как m×0, так и 0×n, ненулевых нет вообще (см. выше). А для объяснения несуществования делителей с l=1 см. статью тензорное произведение. Таким образом, в алгебре матриц n×n над любым полем имеются делители нуля тогда и только тогда, когда . Что, впрочем, неудивительно, если посмотреть, как устроены такие алгебры при n=1 и n=0.

Многозначительный факт

Единственной нулевой матрицей, определитель которой отличен от нуля, является матрица 0×0. Она же, причём над любым полем, является единственной нулевой матрицей, равной единичной своего размера. Этот факт намекает на то, что (см. степени нуля), однако не все математики согласятся с таким выводом.