Область целостности (или целостное кольцо, или область цельности или просто область) — понятие абстрактной алгебры: ассоциативное коммутативное кольцо без делителя нуля (произведение ненулевых элементов не равно 0).

Эквивалентное определение: область целостности — это ассоциативное коммутативное кольцо, в котором нулевой идеал {0} является простым. Любая область целостности является подкольцом своего поля частных.

Примеры

• Простейший пример области целостности — кольцо целых чисел .
• Любое поле является областью целостности. С другой стороны, любая артинова область целостности есть поле. В частности, все конечные области целостности суть конечные поля.
• Кольцо многочленов с коэффициентами из некоторого целостного кольца также является целостным. Например, целостными будут кольцо многочленов одной переменной с целочисленными коэффициентами и кольцо многочленов двух переменных с вещественными коэффициентами.
• Множество действительных чисел вида есть подкольцо поля , а значит, и область целостности. То же самое можно сказать про множество комплексных чисел вида , где и целые (множество Гауссовых целых).
• Пусть  — связное открытое подмножество комплексной плоскости . Тогда кольцо всех голоморфных функций будет целостным. То же самое верно для любого кольца аналитических функций, определённых на связном подмножестве аналитического многообразия.
• Если  — коммутативное кольцо, а  — идеал в , то факторкольцо целостное тогда и только тогда, когда  — простой идеал.

Делимость, простые и неприводимые элементы

Пусть и  — элементы целостного кольца . Говорят, что « делит » или « — делитель » (и пишут ), если и только если существует элемент такой, что .

Делимость транзитивна: если делит и делит , то делит . Если делит и , то делит также их сумму и разность .

Для кольца с единицей элементы , которые делят 1, называются единицами или делителями единицы. Они и только они обратимы в . Единицы делят все остальные элементы кольца.

Элементы a и b называются ассоциированными, если a делит b и b делит a. a и b ассоциированны тогда и только тогда, когда , где e — обратимый элемент.

Ненулевой элемент , не являющийся единицей называется неприводимым, если его нельзя разложить в произведение двух элементов, не являющихся единицами.

Ненулевой необратимый элемент называется простым, если из того, что , следует или . Это определение обобщает понятие простого числа в кольце , однако учитывает и отрицательные простые числа. Если  — простой элемент кольца, то порождаемый им главный идеал будет простым. Любой простой элемент неприводим, но обратное верно не во всех областях целостности.

Свойства

• Любое поле, а также любое кольцо с единицей, содержащееся в некотором поле, является областью целостности.
  • Обратно, любая область целостности может быть вложена в некоторое поле. Такое вложение дает конструкция поля частных.
• Если ― область целостности, то кольцо многочленов и кольцо формальных степенных рядов над также будут областями целостности.
• Если ― коммутативное кольцо с единицей и ― некоторый идеал в , то кольцо является областью целостности тогда и только тогда, когда идеал прост.
• Прямое произведение колец никогда не бывает областью целостности, так как единица первого кольца, умноженная на единицу второго кольца, даст 0.
• Тензорное произведение целостных колец тоже будет целостным кольцом.
• Характеристика области целостности является либо нулём, либо простым числом.
• Для любой области целостности существует поле частных.

Вариации и обобщения

Иногда в определении области целостности не требуют коммутативности. Примерами некоммутативных областей целостности являются тела, а также подкольца тел, содержащие единицу, например целые кватернионы. Однако, вообще говоря, неверно, что любая некоммутативная область целостности может быть вложена в некоторое тело.

Литература

• Винберг Э.Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7