Разбие́ние мно́жества — это представление его в виде объединения произвольного количества попарно непересекающихся подмножеств.

Определение

Пусть  — произвольное множество. Семейство непустых множеств , где  — некоторое множество индексов (конечное или бесконечное), называется разбиением , если:

1. для любых , таких что ;
2. .

При этом множества называются блоками или частями разбиения данного множества .

Разбиения конечных множеств

Разбиения конечных множеств, а также подсчет количества различных разбиений, удовлетворяющих тем или иным условиям, представляет особый интерес в комбинаторике. В частности, некоторые комбинаторные функции естественно возникают как количества разбиений того или иного вида.

Например, число Стирлинга второго рода представляет собой количество неупорядоченных разбиений n-элементного множества на m частей, в то время как мультиномиальный коэффициент выражает количество упорядоченных разбиений n-элементного множества на m частей фиксированного размера . Количество всех неупорядоченных разбиений n-элементного множества задается числом Белла .

Примеры

• , где  — множества всех целых чисел, чётных целых чисел и нечётных целых чисел соответственно;
• Множество всех вещественных чисел может быть представлено в виде: ;
• Множество из трех элементов может быть разбито пятью способами: , , , ,  — значит, число Белла .

См. также

• Замощение