Распределение Гиббса — распределение, определяющее количества частиц в различных квантовых состояниях. Основывается на постулатах статистики:

1. Все доступные микросостояния системы равновероятны.
2. Равновесию соответствует наиболее вероятное распределение (подсистем по состояниям).
3. Вероятность пребывания подсистемы в некотором состоянии определяется только энергией состояния.

Распределение Гиббса представляет наиболее общую и удобную основу для построения равновесной статистической механики.

Количественное рассмотрение

Статистический вес

как и в термодинамике, несёт смысл относительной вероятности нахождения системы в определённом микросостоянии. И, смотря на соотношение Больцмана , легко понять, что состоянию с минимальной энтропией соответствует минимальный статистический вес. Нужно учесть, что в системе постоянны число частиц

и полная энергия

Факториал больших чисел (а числа и большие; теми из них, которые малы, можно пренебречь) находится по формуле Стирлинга: , где . Эту точную формулу можно заменить приближённой

так как относительная ошибка в вычислениях по этой формуле не превосходит , уже при она меньше одного процента. Из соотношений (0), (1) и (3) следует следующее:

Числитель здесь есть функция от , и можно ввести обозначение

что даст

Тогда из формулы Больцмана следует

Здесь можно пренебречь 0,5 по сравнению с . Тогда

Максимум энтропии (5) с учётом соотношений (1) и (2), используя метод множителей Лагранжа, наступает при условиях

Отсюда , где и  — множители Лагранжа, не зависящие от переменных . В системе имеется переменных и три уравнения — следовательно, любые две зависят от остальных; соответственно можно зависимыми считать и и выбрать множители Лагранжа так, чтобы коэффициенты при и обратились в 0. Тогда при остальных переменные , , … можно принять за независимые, и при них коэффициенты также будут равны 0. Так получено

откуда

где  — новая константа.

Для определения постоянной можно заключить систему в теплопроводящие стенки и квазистатически изменять её температуру. Изменение энергии газа равно , а изменение энтропии (из соотношения (5)) равно . Так как , то отсюда , и потому

Термостат

Получено наиболее вероятное распределение системы. Для произвольной макроскопической системы (системы в термостате), окружённой протяжённой средой (термостатом), температура которой поддерживается постоянной, выполняется соотношение (6) — распределение Гиббса: им определяется относительная вероятность того, что система при термодинамическом равновесии находится в -ом квантовом состоянии.

Cм. также

• распределение Больцмана
• распределение Максвелла
• Гиббс, Джозайя Уиллард

Литература

• Базаров И. П., Геворкян Э. В., Николаев П. Н. Термодинамика и статистическая физика. Теория равновесных систем. — М.: МГУ, 1986. — 312 с.
• Квасников И. А. Термодинамика и статистическая физика. Теория равновесных систем. Статистическая физика. — Том 2. — М.: УРСС, 2002. — 430 с.
• Кубо Р. Статистическая механика. — М.: Мир, 1967. — 452 c.
• Сивухин Д. В. Общий курс физики. — В 5 т. — Т. II. Термодинамика и молекулярная физика. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.
• Терлецкий Я. П. Статистическая физика. — 2-е изд. — М.: Высшая школа, 1973. — 277 c.