След матрицы — операция, отображающая пространство квадратных матриц в поле, над которым определена матрица (для действительных матриц — в поле действительных чисел, для комплексных матриц — в поле комплексных чисел). След матрицы — это сумма элементов главной диагонали матрицы, то есть если элементы матрицы , то её след .

В математических текстах встречается два обозначения операции взятия следа: (от англ. Trace — след), и (от нем. Spur — след).

В тензорном исчислении следом тензора второго ранга (один раз ко- и один раз контравариантного) называется сумма его диагональных элементов. Независимо от ко- и контравариантности след тензора второго ранга вычисляется как двойное скалярное произведение тензора с метрическим тензором и является первым инвариантом: .

Свойства

• Линейность

• Цикличность

Следствие: след одинаков для всех подобных матриц:

• , где T означает операцию транспонирования.

• Если тензорное произведение матриц A и B, то

• След матрицы равен сумме её собственных значений.

• Определитель квадратной матрицы можно выразить через следы степеней этой матрицы, не превосходящие . Например

Геометрическое свойство

• ,

где E - единичная матрица, ε — бесконечно малое число. То есть бесконечно малое линейное преобразование изменяет объем на величину, пропорциональную следу генератора этого преобразования в первом порядке по его малому параметру. Иными словами, скорость изменения объема при таком преобразовании равна следу его генератора.

• Следствия:
  • для малых α
  • Для того, чтобы преобразования не меняли объем, достаточно того, чтобы их генераторы были бесследовыми.

См. также

• След (теория полей)