Определения собственного числа, собственного и корневого векторов линейного оператора

Пусть  — линейное пространство над полем ,  — линейное преобразование.

Собственным вектором линейного преобразования называется такой ненулевой вектор , что для некоторого

Собственным значением линейного преобразования называется такое число , для которого существует собственный вектор, то есть уравнение имеет ненулевое решение .

Упрощённо говоря, собственный вектор — любой ненулевой вектор x, который отображается оператором в коллинеарный , а соответствующий скаляр называется собственным значением оператора.

Собственным подпространством линейного преобразования для данного собственного числа (или отвечающим этому числу) называется множество всех собственных векторов , соответствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его . По определению,

где  — единичный оператор.

Корневым вектором линейного преобразования для данного собственного значения называется такой ненулевой вектор , что для некоторого натурального числа

Если является наименьшим из таких натуральных чисел (то есть ), то называется высотой корневого вектора .

Корневым подпространством линейного преобразования для данного собственного числа называется множество всех корневых векторов , соответствующих данному собственному числу (дополненное нулевым вектором). Обозначим его . По определению,

где

Свойства собственных значений, собственных и корневых векторов и пространств

Общий случай

Подпространство называется инвариантным подпространством линейного преобразования (-инвариантным подпространством), если

.

• Собственные подпространства , корневые подпространства и подпространства линейного оператора являются -инвариантными.

• Собственные векторы являются корневыми (высоты 1): ;

• Корневые векторы могут не быть собственными: например, для преобразования двумерного пространства, заданного матрицей

, и все векторы являются корневыми, соответствующими собственному числу 1, но имеет единственный собственный вектор (с точностью до умножения на число).

• Для разных собственных значений корневые (и, следовательно, собственные) подпространства имеют тривиальное (нулевое) пересечение:

если .

Конечномерные линейные пространства

Выбрав базис в -мерном линейном пространстве , можно сопоставить линейному преобразованию квадратную матрицу и определить для неё характеристический многочлен матрицы

.

• Характеристический многочлен не зависит от базиса в . Его коэффициенты являются инвариантами оператора . В частности, , не зависят от выбора базиса.
• Собственные значения, и только они, являются корнями характеристического многочлена матрицы.
• Количество различных собственных значений не может превышать размер матрицы.
• Если выбрать в качестве базисных векторов собственные вектора оператора, то матрица в таком базисе станет диагональной, причём на диагонали будут стоять собственные значения оператора. Отметим, однако, что далеко не любая матрица допускает базис из собственных векторов (общая структура описывается нормальной жордановой формой).
• Для положительно определённой симметричной матрицы процедура нахождения собственных значений и собственных векторов является ни чем иным как поиском направлений и длин полуосей соответствующего эллипса.

Пусть числовое поле алгебраически замкнуто (например, является полем комплексных чисел). Тогда характеристический многочлен разлагается в произведение линейных множителей

где  — собственные значения; некоторые из могут быть равны. Кратность собственного значения  — это число множителей равных в разложении характеристического многочлена на линейные множители (называется также алгебраическая кратность собственного значения).

• Размерность корневого пространства равна кратности собственного значения.
• Векторное пространство разлагается в прямую сумму корневых подпространств (по теореме о жордановой форме):

где суммирование производится по всем  — собственным числам .

• Геометрическая кратность собственного значения  — это размерность соответствующего собственного подпространства ; геометрическая кратность собственного значения не превосходит его кратности, поскольку

Гильбертовы пространства над полем комплексных чисел и нормальные операторы

Наличие скалярного произведения позволяет выделить важные классы операторов, собственные значения и собственные векторы которых обладают рядом дополнительных полезных свойств.

Нормальным оператором называется оператор , коммутирующий со своим сопряжённым :

.

Частными классами нормальных операторов являются самосопряжённые (эрмитовы) операторы (), антиэрмитовы операторы () и унитарные операторы (), а также их вещественные варианты: симметричные операторы, антисимметричные операторы и ортогональные преобразования.

• Все корневые векторы нормального оператора являются собственными.

• Собственные векторы нормального оператора , соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. То есть если , и , то . (Для произвольного оператора это неверно.)

• Все собственные значения самосопряжённого оператора являются вещественными.

• Все собственные значения антиэрмитового оператора являются мнимыми.

• Все собственные значения унитарного оператора лежат на единичной окружности .

• В конечномерном случае, сумма размерностей собственных подпространств нормального оператора , соответствующих всем собственным значениям, равна размерности матрицы, а векторное пространство разлагается в ортогональную сумму собственных подпространств:

где суммирование производится по всем  — собственным числам , а взаимно ортогональны для различных .

• Последнее свойство для нормального оператора над является характеристическим: оператор нормален тогда и только тогда, когда его матрица имеет диагональный вид в каком-нибудь ортонормированном базисе (в конечномерном случае).

Положительные матрицы

Квадратная вещественная матрица называется положительной, если все её элементы положительны: .

Теорема Перрона (частный случай теоремы Перрона-Фробениуса): Положительная квадратная матрица имеет положительное собственное значение , которое имеет алгебраическую кратность 1 и строго превосходит абсолютную величину любого другого собственного значения этой матрицы. Собственному значению соответствует собственный вектор , все координаты которого строго положительны. Вектор  — единственный собственный вектор (с точностью до умножения на число), имеющий неотрицательные координаты.

Собственный вектор может быть вычислен посредством прямых итераций: выберем произвольный начальный вектор с положительными координатами. Положим:

Последовательность сходится к нормированному собственному вектору .

Другая область применения метода прямых итераций — поиск собственных векторов положительно определённых симметричных операторов.

Литература

• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1966. — 576 с.
• Уилкинсон Д. Х. Алгебраическая проблема собственных значений. — М.: Наука, 1970. — 564 с.
• Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
• Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.