В теории чисел соотноше́ние Безу́ — соотношение между парой целых чисел и их наибольшим общим делителем, названное в честь французского математика Этьена Безу:

Другими словами, наибольший общий делитель чисел a, b можно всегда представить как линейную комбинацию a и b с целыми коэффициентами.

Соотношение НОД(a,b) = x·a + y·b называется соотношением Безу (для чисел a и b), а целые числа x, y — коэффициентами Безу.

Пример

НОД Соотношение Безу имеет вид:

Следствие

Если числа взаимно простые, то уравнение:

имеет целочисленные решения. Этот важный факт облегчает решение диофантовых уравнений первого порядка.

Свойства

• НОД является наименьшим натуральным числом, которое может быть представлено в виде линейной комбинации чисел a и b с целыми коэффициентами.
• Для практического вычисления коэффициентов можно использовать алгоритм Евклида. Его последний шаг связывает НОД с промежуточными остатками от деления, которые, если по очереди подставить все их значения из вышележащих строк, свяжут НОД непосредственно с первоначальными числами.
• Коэффициенты Безу определены неоднозначно — если какие-то их значения известны, то всё множество коэффициентов даётся формулой:

где d = НОД(a, b).

Обобщения

• Соотношение Безу легко обобщается на случай, когда имеется более двух чисел:

• Соотношение Безу может иметь место не только для целых чисел, но и в других коммутативных кольцах. Такие кольца называются кольцами Безу. Пример: формулировка для кольца многочленов:

История

Впервые данный факт опубликовал в 1624 году французский математик Клод Гаспар Баше де Мезириак для случая взаимно простых чисел^[1]. Этьен Безу в конце XVIII века обобщил теорему, распространив её на кольцо многочленов.

См. также

• Алгоритм Евклида

Примечания