У этого термина существуют и другие значения, см.
Сходимость.
Последовательность функций схо́дится почти́ всю́ду к предельной функции, если множество точек, для которых сходимость отсутствует, пренебрежимо мало.
Определение
Пусть пространство с мерой, и . Говорят, что сходится почти всюду, и пишут -п.в., если
- .
Терминология теории вероятностей
Если есть вероятностное пространство, и — случайные величины, такие что
- ,
то говорят, что последовательность схо́дится почти́ наве́рное к .
Свойства сходимости п.в.
- Поточечная сходимость, очевидно, влечёт сходимость почти всюду (почти наверное).
- Пусть , где , и сходится почти всюду к . Пусть также существует функция такая, что для всех и почти всех (суммируемая мажоранта). Тогда , и в . Без априорного предположения о существовании суммируемой мажоранты из сходимости почти всюду (и даже всюду) не следует сходимости в . Например, последовательность функций сходится к 0 почти всюду на , но не сходится в .
- Сходимость почти всюду (почти наверное) влечёт сходимость по мере (по вероятности).
См. также