Теорема Абеля — Руффини утверждает, что общее уравнение степени при неразрешимо в радикалах.
Содержание |
Теория Галуа описывает группу перестановок корней многочленов. Современное доказательство теоремы состоит из доказательства двух фактов.
Легко видеть, что значительная часть доказательства «спрятана» в теорию Галуа.
Теорема Абеля — Руффини не заявляет о том, что общее уравнение -ной степени при не имеет решения. Если мы допускаем комплексные решения, то основная теорема алгебры гарантирует наличие решений. Суть теоремы Абеля — Руффини сводится к тому, что для произвольных уравнений степени больше четвертой невозможно указать закрытую формулу для решений, то есть формулу, содержащую только арифметические операции и корни произвольной степени. Решения таких уравнений можно получить с любой желаемой точностью используя численные методы, например метод Ньютона. Кроме того, для некоторых уравнений высших степеней существуют закрытые формулы, однако они не действительны для всех уравнений данной степени. Например, уравнение имеет корень .
Для уравнений со степенью меньше, чем пятая, можно указать закрытую формулу решения. Это можно рассматривать как «вторую часть» или как «обратную» теорему Абеля — Руффини. Хотя это утверждение не следует из теоремы Абеля — Руффини, оно верно: см. формулы Кардано (для уравнений третьей степени) и Феррари (для четвёртой).
Первое доказательство теоремы было опубликовано в 1799 Руффини. В доказательстве было несколько неточностей. В 1824 году полное доказательство было опубликовано Абелем. Немногим позже развившаяся теория Галуа позволила сформулировать современное изложение доказательства.
Хотя теорема утверждает, что уравнения не имеют общей формулы для решения, некоторые типы уравнений высоких степеней допускают точные решения. Среди них:
Теорема абеля руффини доказательство, теорема абеля руффини, доказательство теорема абеля руффини.
Кривое Озеро Второе, Хитрин, Лев Николаевич, Файл:Central costanera.jpg, Пономарев Прокофий Иванович.
