Формула Ньютона — Лейбница или основная теорема анализа даёт соотношение между двумя операциями: взятием определенного интеграла и вычислением первообразной.
|
Если непрерывна на отрезке и — ее любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство |
Пусть на отрезке задана интегрируемая функция . Начнем с того, что отметим, что
то есть не имеет никакого значения, какая буква ( или ) стоит под знаком в определенном интеграле по отрезку .
Зададим произвольное значение и определим новую функцию . Она определена для всех значений , потому что мы знаем, что если существует интеграл от на , то существует также интеграл от на , где . Напомним, что мы считаем по определению
(1)
Заметим, что
Покажем, что непрерывна на отрезке . В самом деле, пусть ; тогда
и если , то
Таким образом, непрерывна на независимо от того, имеет или не имеет разрывы; важно, что интегрируема на .
На рисунке изображен график . Площадь переменной фигуры равна . Ее приращение равно площади фигуры , которая в силу ограниченности , очевидно, стремится к нулю при независимо от того, будет ли точкой непрерывности или разрыва , например точкой .Пусть теперь функция не только интегрируема на , но непрерывна в точке . Докажем, что тогда имеет в этой точке производную, равную
(2)
В самом деле, для указанной точки
(1) , (3)
Мы положили , а так как постоянная относительно ,TO . Далее, в силу непрерывности в точке для всякого можно указать такое , что для .
Поэтому
что доказывает, что левая часть этого неравенства есть о(1) при .
Переход к пределу в (3) при показывает существование производной от в точке и справедливость равенства (2). При речь здесь идет соответственно о правой и левой производной.
Если функция непрерывна на , то на основании доказанного выше соответствующая ей функция
(4)
имеет производную, равную . Следовательно, функция есть первообразная для на .
Это заключение иногда называется теоремой об интеграле с переменным верхним пределом или теоремой Барроу.
Мы доказали, что произвольная непрерывная на отрезке функция имеет на этом отрезке первообразную, определенную равенством (4). Этим доказано существование первообразной для всякой непрерывной на отрезке функции.
Пусть теперь есть произвольная первообразная функции на . Мы знаем, что , где — некоторая постоянная. Полагая в этом равенстве и учитывая, что , получим .
Таким образом, . Но
Поэтому
Ещё до появления математического анализа данная теорема (в геометрической или механической формулировке) была известна Торричелли, Грегори и Барроу. Например, Барроу описал этот факт в 1670 году как зависимость между задачами на квадратуры и на проведение касательных. После создания Ньютоном и Лейбницем дифференциального и интегрального исчислений смысл формулы стал трактоваться чисто математически: операции дифференцирования и интегрирования взаимно обратны.
Ньютон сформулировал теорему словесно следующим образом: «Для получения должного значения площади, прилегающей к некоторой части абсциссы, эту площадь всегда следует брать равной разности значений z [первообразной], соответствующих частям абсцисс, ограниченным началом и концом площади». У Лейбница запись данной формулы в современном виде также отсутствует, поскольку обозначение определённого интеграла появилось гораздо позже, у Фурье в начале XIX века. Современное оформление и строгое доказательство впервые опубликованы также в начале XIX века Лакруа.
Теорема Ньютона-Лейбница.