Фигу́рные чи́сла — общее название чисел, связанных с той или иной геометрической фигурой. Это историческое понятие восходит к пифагорейцам. Предположительно от фигурных чисел возникло выражение: «Возвести число в квадрат или в куб».
Виды фигурных чисел
Различают следующие виды фигурных чисел:
- Линейные числа — числа, не разлагающиеся на сомножители, то есть их ряд совпадает с рядом простых чисел, дополненным единицей:
- 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, … (последовательность A008578 в OEIS)
- Плоские числа — числа, представимые в виде произведения двух сомножителей, то есть составные:
- 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, … (последовательность A002808 в OEIS)
- Телесные числа — числа, представимые произведением трёх сомножителей:
- 8, 12, 16, 18, 20, 24, 27, 28, … (последовательность A033942 в OEIS)
Многоугольные числа
n-е по порядку m-угольное число можно определить как сумму n членов арифметической прогрессии, у которой первый член есть 1, а разность равна . Например, треугольные числа получаются как частичные суммы ряда .
Треугольные числа
Последовательность треугольных чисел:
- 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703, 741, 780, 820, 861, 903, 946, 990, 1035, 1081, 1128, 1176, 1225, 1275, 1326, 1378, 1431, …, , … (последовательность A000217 в OEIS)
Свойства:
- Сумма двух последовательных треугольных чисел даёт полный квадрат (квадратное число).
- Чётность элемента последовательности меняется с периодом 4: нечётное, нечётное, чётное, чётное.
Квадратные числа
-
Квадратные числа представляют собой произведение двух одинаковых натуральных чисел, то есть являются полными квадратами:
- 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500, …, n², … (последовательность A000290 в OEIS)
Пятиугольные числа
-
- 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590, 651, 715, 782, 852, 925, 1001, 1080, 1162, 1247, 1335, 1426, 1520, 1617, 1717, 1820, 1926, 2035, 2147, 2262, 2380, 2501, 2625, 2752, 2882, 3015, 3151, …, , … (последовательность A000326 в OEIS)
Шестиугольные числа
-
- 1, 6, 15, 28, 45, 66, 91, 120, 153, 190, 231, 276, 325, 378, 435, 496, 561, 630, 703, 780, 861, 946, 1035, 1128, 1225, 1326, 1431, 1540, 1653, 1770, 1891, 2016, 2145, 2278, 2415, 2556, 2701, 2850, 3003, 3160, 3321, 3486, 3655, 3828, 4005, 4186, 4371, 4560 …, , … (последовательность A000384 в OEIS)
Общий случай
Последовательность k-угольных чисел:
- 1, k, 3k-3, 6k-8, 10k-15, 15k-24, 21k-35, 28k-48, 36k-63, 45k-80, …, , …
Эквивалентный формат представления n-го элемента: .
Многомерные фигурные числа
Можно определить многомерные фигурные числа,[источник не указан 588 дней] частными случаями которых являются:
- Изоэдральные многомерные фигурные числа. Пример: последовательность A081436 в OEIS.
- Трехмерные правильные фигурные числа:
- где e — число вершин многогранника, f — число его граней, k — число сторон каждой грани, m — число граней, примыкающих к каждой вершине. Примеры: последовательности A006566, A006564, A005900.
- Четырехмерные правильные фигурные числа:
- где E — число вершин, G — число граней — число многогранных углов вершины. Примеры: последовательности A092182, A092181, A092183.
Исторический очерк
Фигурные числа, по мнению пифагорейцев, играют важную роль в структуре мироздания. Поэтому их изучением занимались многие математики античности: Эратосфен, Гипсикл, Диофант Александрийский и другие. Гипсикл (II век до н. э.) дал общее определение m-угольного числа как суммы n членов арифметической прогрессии, у которой первый член есть 1, а разность равна . Диофант написал большое исследование о свойствах многоугольных чисел, фрагменты которого дошли до наших дней. О фигурных числах много говорится в пифагорейских учебниках арифметики, созданных Никомахом Геразским и Теоном Смирнским (II век), установившие ряд зависимостей между фигурными числами разных размерностей. Большой интерес к фигурным числам проявили индийские математики и первые математики средневековой Европы (Фибоначчи, Пачоли, Кардано и др.).
В Новое время многоугольными числами занимались Ферма, Валлис, Эйлер, Лагранж, Гаусс и другие. Ферма сформулировал (1637) так называемую «золотую теорему»:
- Всякое натуральное число — либо треугольное, либо сумма двух или трёх треугольных чисел;
- Всякое натуральное число — либо квадратное, либо сумма двух, трёх или четырёх квадратных чисел (Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов);
- Всякое натуральное число — либо пятиугольное, либо сумма от двух до пяти пятиугольных чисел:
- и т. д.
Этой теоремой занимались многие выдающиеся математики, полное доказательство сумел дать Коши в 1813 году.[1]
См. также
Примечания
- Популярная комбинаторика. — М.: Наука, 1975. — С. 10-11. — 208 с.
Литература
- Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964. — 376 с.
- Депман И. Я. История арифметики. Пособие для учителей. — Изд.второе. — М.: Просвещение, 1965. — С. 150—155.
- Матвиевская Г. П. Заметки о многоугольных числах в записных книжках Эйлера // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1983. — № 27. — С. 27-49.
- Серпинский В. Пифагоровы треугольники. — М.: Учпедгиз, 1959. — 111 с.
- Стиллвелл Д. Глава 3 // Математика и ее история. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004.
