Определение

Пусть — произвольное кольцо. Если существует такое целое положительное , что для каждого выполняется равенство , то наименьшее из таких чисел (скажем, ) называется характеристикой кольца , а само называется кольцом положительной характеристики . Если таких чисел не существует, то называется кольцом характеристики .

Характеристика кольца обозначается символом .

Примеры

• Характеристики кольца целых чисел , поля рациональных чисел , поля вещественных чисел , поля комплексных чисел равны нулю.
• Характеристика кольца вычетов равна .
• Характеристика конечного поля , где — простое число, — положительное целое, равна .

Свойства

• Если кольцо с единицей и без делителей нуля имеет положительную характеристику , то — простое число. Следовательно, характеристика любого поля есть либо , либо простое число . В первом случае поле содержит в качестве подполя поле изоморфное полю рациональных чисел , во втором случае поле содержит в качестве подполя поле изоморфное . В обоих случаях это подполе называется простым полем (содержащимся в ).
• Характеристикой конечного поля является простое число. Заметим, что из того, что характеристика поля конечна, не следует, что поле конечно. Примерами таких полей являются поле рациональных функций над и алгебраическое замыкание поля .
• Если — коммутативное кольцо простой характеристики , то для всех , .

Литература

• Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: В 2-х т. Т. 1. Пер. с англ. — М.: Мир, 1988.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977.
• Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра: Учебник. В 2-х т. Т. 2. — М.: Гелиос АРВ, 2003.