В теории групп группа называется циклической, если она может быть порождена одним элементом a, то есть все её элементы являются степенями a (или, если использовать аддитивную терминологию, представимы в виде na, где n — целое число). Математическое обозначение: .

Несмотря на своё название, группа не обязательно должна буквально представлять собой «цикл». Может случиться так, что все степени будут различными. Порождённая таким образом группа называется бесконечной циклической группой и изоморфна группе целых чисел по сложению ().

Свойства

• Все циклические группы абелевы.
• Каждая конечная циклическая группа изоморфна группе  — со сложением по модулю n (её также обозначают ), а каждая бесконечная — изоморфна , группе целых чисел по сложению.
  • В частности, для каждого натурального числа n существует единственная (с точностью до изоморфизма) циклическая группа порядка n.
• Каждая подгруппа циклической группы циклична.
• У циклической группы порядка n существует ровно φ(n) порождающих элементов, где φ — функция Эйлера
• Если p — простое число, то любая группа порядка p циклическая и единственна с точностью до изоморфизма (это следует из теоремы Лагранжа).
• Прямое произведение двух циклических групп порядков и циклично тогда и только тогда, когда n и m взаимно просты.
  • Например, изоморфна , но не изоморфна .
• Основная теорема о конечнопорождённых абелевых группах утверждает, что любая конечнопорождённая абелева группа единственным образом разлагается в прямое произведение примарных циклических групп. Примарной группой может быть циклическая группа , где p — простое число, или .
• Мультипликативная группа любого конечного поля является циклической (она порождается элементом поля наибольшего порядка).
• Кольцо эндоморфизмов группы изоморфно кольцу . При этом изоморфизме числу r соответствует эндоморфизм , который сопоставляет элементу сумму r его экземпляров. Такое отображение будет биекцией, если и только если r взаимно просто с n, так что группа автоморфизмов изоморфна .

Примеры

• Группа корней из единицы степени n по умножению.
• Группа Галуа любого конечного расширения конечного поля конечна и циклична; обратно, если дано конечное поле F и конечная циклическая группа G, существует конечное расширение F группой Галуа которого будет G.

Доказательства

Утверждение. Каждая подгруппа циклической группы циклична.

Доказательство. Пусть  — циклическая группа и  — подгруппа группы . Если группа тривиальна (состоит из одного элемента), то и циклична. Если  — тривиальная подгруппа (состоит из единичного элемента или совпадает со всей группой G), то циклична. Далее в ходе доказательства будем считать, что и не являются тривиальными.

Пусть  — образующий элемент группы , а  — наименьшее положительное целое число, такое что . Утверждение:

Следовательно, .

 

Пусть .

.

Согласно алгоритму деления с остатком

.

.

Исходя из того, каким образом мы выбрали и того, что , делаем вывод, что .

.

Следовательно, .

Литература

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — М.: Факториал Пресс, 2001.
• Хамермеш М. Теория групп и её приложение к физическим проблемам. — М.: Мир, 1966.