В геометрии циссоида — это кривая, созданная из двух заданных кривых C₁, C₂ относительно точки O (полюса). Пусть L — прямая, проходящая через O и пересекающая C₁ в точке P₁, а C₂ — в точке P₂. Пусть P — точка на L, такая что OP = P₁P₂. (На самом деле имеются две таких точки, но P выбирается так, что P находится в том же направлении от O, что и P₂ от P₁.) Множество таких точек P называется циссоидой кривых C₁, C₂ относительно O.

Слегка отличные, но, в сущности, эквивалентные определения можно встретить у различных авторов. Например, P может быть определена такой точкой, что OP = OP₁ + OP₂. Это определение эквивалентно приведённому, если C₁ заменить её отражением относительно O. Также можно определить P как середину P₁ and P₂. Эта кривая совпадает с кривой из предыдущего определения с коэффициентом подобия 1/2.

Слово"циссоида" пришло из греческого языка — kissoeidēs "подобный плющу" — от kissos "плющ" и oeidēs "подобный".

Уравнения

Если C₁ и C₂ заданы в полярных координатах функциями и соответственно, то уравнение задаёт циссоиду C₁ и C₂ относительно начала координат. Однако, точка может быть представлена различными способами в полярных координатах, так что могут существовать другие ветки циссоиды с другими уравнениями. В частности, C₁ можно задать как

.

Таким образом, циссоида — это объединение кривых, заданных уравнениями

.

Часть из этих уравнений приведут к повторению кривых и могут быть исключены.

Например, пусть C₁ и C₂ — это эллипсы

.

Первая ветвь циссоиды задаётся уравнением

,

то есть, эта ветвь является одной точкой - началом координат. Эллипс также задаётся уравнением

,

так что вторая ветвь циссоиды задаётся уравнением:, и эта кривая имеет форму овала.

Если C₁ и C₂ заданы параметрическими уравнениями

и

,

то циссоида относительно начала координат задаётся уравнением:.

Специальные случаи

Если C₁ является окружностью с центром в точке O, то циссоида является конхоидой кривой C₂.

Если C₁ и C₂ — две параллельные прямые, то их циссоида — третья прямая, параллельная этим двум.

Гиперболы

Пусть C₁ и C₂ — две непараллельные прямые и пусть O — начало координат. Пусть C₁ и C₂ задаются в полярных координатах уравнениями

и

.

Мы можем повернуть на угол , так что можем предположить, что . Тогда циссоида C₁ и C₂ относительно начала координат задаётся уравнением

.

Обозначив константные выражения, получим

что в декартовых координатах превращается в

.

Эта формула задаёт гиперболу, проходящую через начало координат. Таким образом, циссоида двух непараллельных прямых является гиперболой, проходящей через полюс. Похожие рассуждения показывают, в обратную сторону, что любая гипербола является циссоидой двух непараллельных прямых относительно любой точки на гиперболе.

Циссоиды Зарадника

Циссоида Зарадника (названа по имени Карела Зарадника^[en]) определяется как циссоида конического сечения и прямой относительно любой точки на сечении. Эти циссоиды образуют широкое семейство рациональных кубических кривых, среди которых некоторые хорошо известны. В частности:

• Трисектриса Маклорена, задаваемая формулой

является циссоидой окружности и прямой относительно начала координат.

• Правая строфоида

является циссоидой окружности и прямой относительно начала координат.

• Циссоида Диокла

является циссоидой окружности и прямой относительно начала координат. Фактически это кривая, по которой семейство названо и некоторые авторы ссылаются на неё просто как на циссоиду.

• Циссоида окружности и прямой , где k — параметр. Циссоиду называют конхоидой Слюза. (Эти кривые не являются реальными конхоидами.) Это семейство включает в себя предыдущие примеры.

• Декартов лист

является циссоидой эллипса и прямой относительно начала координат. Чтобы это показать, заметим, что прямую можно задать как

а эллипс можно задать как

.

Так что циссоида задаётся уравнением

и это уравнение является параметрической форой листа.

Смотрите также

• Конхоида
• Строфоида

Ссылки

• J. Dennis Lawrence A catalog of special plane curves. — Dover Publications, 1972. — С. 53–56. — ISBN 0-486-60288-5.
• C. A. Nelson "Note on rational plane cubics" Bull. Amer. Math. Soc. Volume 32, Number 1 (1926), 71-76.

Внешние ссылки

• Michiel Hazewinkel Encyclopedia of Mathematics. — Springer, 2001.
• Weisstein, Eric W. Cissoid (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• 2D Curves
• "Courbe Cissoïdale" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (на французском)
• "Cissoïdales de Zahradnik" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (на французском)