Sage (англ. мудрец) — система компьютерной алгебры, покрывающая много областей математики, включая алгебру, комбинаторику, вычислительную математику и матанализ.

Первая версия Sage была выпущена 24 февраля 2005 года в виде свободного программного обеспечения с лицензией GNU GPL. Первоначальной целью проекта было «создание открытого программного обеспечения альтернативного системам Magma, Maple, Mathematica, и MATLAB»^[1]. Разработчиком Sage является Уильям Стейн — математик Университета Вашингтона.

Возможности

Многочисленные возможности Sage включают^[2]:

• Интерфейс notebook для просмотра и повторного использования введённых команд и полученных результатов, включая графики и текстовые аннотации, доступный из большинства современных веб-браузеров. Доступно защищённое соединение через протокол HTTPS, когда конфиденциальность имеет значение. Так же Sage может выполняться как локально, так и удалённо.
• Интерфейс ввода на основе командной строки, с использованием мультипарадигменного языка Python.
• Поддержка параллельных вычислений с использованием как многоядерных процессоров, так и многопроцессорных систем и систем распределённых вычислений.
• Матанализ реализован на основе систем Maxima и SymPy.
• Линейная алгебра реализована на основе систем GSL, SciPy и NumPy.
• Библиотеки элементарных и специальных математических функций.
• Плоские и трёхмерные графики для функций и данных.
• Средства работы с матрицами и массивами данных с поддержкой разрежённых массивов.
• Различные статистические библиотеки функций, использующие функциональность R и SciPy.
• Набор инструментов для добавления собственного пользовательского интерфейса к вычислениям и приложениям.^[3]
• Средства для обработки изображений с использованием pylab и Python.
• Средства визуализации и анализа теории графов.

• Процедуры для импорта и экспорта различных форматов данных: изображений, видео, аудио, САПР, ГИС, документов и медицинских форматов.
• Поддержка комплексных чисел, символьных и вычислений с произвольной точностью.
• Подготовка научно-технической документации с использованием редактора формул и возможностью встраивания Sage в документацию формата LaTeX.^[4]
• Сетевые инструменты для соединения с базами данных SQL, поддержка сетевых протоколов, включая HTTP, NNTP, IMAP, SSH, IRC, FTP.
• Программные интерфейсы для работы с системами Mathematica, Magma, и Maple.

Хотя это не представлено непосредственно, Sage может быть вызван из интерфейса Mathematica.^[5][6]

Философия разработки Sage

В процессе разработки Sage Уильям Стейн основывался на следующих фактах:

• Для создания достойной альтернативы системам Magma, Maple, Mathematica, и MATLAB потребуются сотни или тысячи человеко-лет, если начинать процесс разработки с нуля.
• Существует большое количество готового математического ПО с открытым исходным кодом, но написанного на различных языках программирования, из которых наиболее встречаемыми являются C, C++, Fortran и Python.

Таким образом, вместо того, чтобы начинать с нуля, было решено объединить всё специализированное математическое ПО в систему с общим интерфейсом. Конечному пользователю необходимо лишь знать язык Python.

Если для какой-то частной задачи не существовало ПО с открытым кодом, тогда стояла задача написания соответствующего блока для Sage. Но Sage не изобретает колесо, и в отличие от коммерческих систем компьютерной алгебры может открыто использовать исходные коды свободного ПО.

К разработке Sage привлекаются как профессионалы, так и студенты. Разработчики работают на общественных началах и поддерживаются грантами.^[7]

Производительность

Исходный код и исполняемые файлы Sage доступны для скачивания. Если компиляция производится на конечном компьютере, многие входящие в комплект библиотеки будут автоматически настроены для оптимальной работы на данном оборудовании, принимая в расчёт количество процессоров, размер кэш-буферов и поддержку специальных наборов инструкций, например SSE.

Лицензирование и доступность

Sage — свободное программное обеспечение, распространяемое по условиям лицензии GNU General Public License версии 2+. Доступность Sage имеет следующие аспекты:

• Исходный код может быть скачан со страницы загрузки. Так же доступны релизы, находящиеся в процессе разработки, хотя они не рекомендуются обычным пользователям.
• Исполняемые файлы доступны для операционных систем Linux, OS X и Solaris (как под архитектуру x86, так и SPARC).
• Также доступен live CD с версией Linux, что позволяет опробовать Sage без установки на компьютер.
• Пользователи могут использовать он-лайн версию Sage, доступную по адресу t2nb.math.washington.edu:8000. При этом имеются ограничения на объём доступной памяти и конфиденциальность работы.

Несмотря на то, что Microsoft спонсировала разработку версии Sage специально под ОС Windows ^[8], на данный момент пользователям этой операционной системы нужно использовать технологию виртуализации для работы с Sage. Рекомендуемая программа виртуализации — VirtualBox.

Содержащиеся в Sage программные пакеты

Примеры работы с командной строкой

Анализ

x,a,b,c = var('x,a,b,c')
 
log(sqrt(a)).simplify_log() # returns (log(a))/2
log(a/b).simplify_log() # returns log(a) - log(b)
sin(a+b).simplify_trig() # returns cos(a)*sin(b) + sin(a)*cos(b)
cos(a+b).simplify_trig() # returns cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b)
(a+b)ˆ5 # returns (b + a)ˆ5
expand((a+b)ˆ5) # returns bˆ5 + 5*a*bˆ4 + 10*aˆ2*bˆ3 +
 # 10*aˆ3*bˆ2 + 5*aˆ4*b + aˆ5
 
limit((xˆ2+1)/(2+x+3*xˆ2), x=infinity) # returns 1/3
limit(sin(x)/x, x=0) # returns 1
 
diff(acos(x),x) # returns -1/sqrt(1 - xˆ2)
f = exp(x)*log(x)
f.diff(x,3) # returns e^x*log(x) + 3*e^x/x - 3*e^x/x^2 + 2*e^x/x^3
 
solve(a*x^2 + b*x + c, x) # returns [x == (-sqrt(b^2 - 4*a*c) - b)/(2*a),
 # x == (sqrt(b^2 - 4*a*c) - b)/(2*a)]
 
f = xˆ2 + 432/x
solve(f.diff(x)==0,x) # returns [x == 3*sqrt(3)*I - 3,
 # x == -3*sqrt(3)*I - 3, x == 6]

Дифференциальные уравнения

t = var('t') # define a variable t
x = function('x',t) # define x to be a function of that variable
DE = lambda y: diff(y,t) + y - 1
desolve(DE(x(t)), [x,t]) # returns '%e^-t*(%e^t+%c)'

Линейная алгебра

A = Matrix([[1,2,3],[3,2,1],[1,1,1]])
y = vector([0,-4,-1])
A.solve_right(y) # returns (-2, 1, 0)
A.eigenvalues() # returns [5, 0, -1]
 
B = Matrix([[1,2,3],[3,2,1],[1,2,1]])
B.inverse() # returns [ 0 1/2 -1/2]
 # [-1/4 -1/4 1]
 # [ 1/2 0 -1/2]
 
# Call numpy for the Moore-Penrose pseudo-inverse,
# since Sage does not support that yet.
 
import numpy
C = Matrix([[1 , 1], [2 , 2]])
matrix(numpy.linalg.pinv(C.numpy())) # returns [0.1 0.2]
 # [0.1 0.2]

Теория чисел

prime_pi(1000000) # returns 78498, the number of primes less than one million
 
E = EllipticCurve('389a') # construct an elliptic curve from its Cremona label
P, Q = E.gens()
7*P + Q # returns (2869/676 : -171989/17576 : 1)

История версий

Ниже приведены только значительные релизы. В разработке Sage практикуются правило «release early, release often» (англ. "выпускай раньше, выпускай чаще"), новые релизы появляются каждые две-три недели.

В 2007 году Sage выиграл первый приз международного конкурса свободного программного обеспечения en:Les Trophées du Libre (англ.) в разделе научного ПО.^[9]

См. также

• Система компьютерной алгебры
• Компьютерная математика
• Математическое программное обеспечение

Примечания