Векторная величина — физическая величина, являющаяся вектором (тензором ранга 1). Противопоставляется с одной стороны скалярным (тензорам ранга 0), с другой — тензорным величинам (строго говоря - тензорам ранга 2 и более). Также может противопоставляться тем или иным объектам совершенно другой математической природы.
В большинстве случаев термин вектор употребляется в физике для обозначения вектора в так называемом «физическом пространстве», т.е. в обычном трехмерном пространстве в классической физике или в четырехмерном[1] пространстве-времени в современной физике (в последнем случае понятие вектора и векторной величины совпадают с понятием 4-вектора и 4-векторной величины).
Употребление словосочетания "векторная величина" практически исчерпывается этим. Что же касается употребления термина "вектор", то оно, несмотря на тяготение по умолчанию к этому же полю применимости, в большом количестве случаев всё же весьма далеко выходит за такие рамки. Об этом см. ниже.
Содержание |
В целом в физике понятие вектора практически полностью совпадает с таковым в математике. Однако есть терминологическая специфика, связанная с тем, что в современной математике это понятие несколько излишне абстрактно (по отношению к нуждам физики).
В математике, произнося «вектор» понимают скорее вектор вообще, т.е. любой вектор любого сколь угодно абстрактного линейного пространства любой размерности и природы, что, если не прилагать специальных усилий, может приводить даже к путанице (не столько, конечно, по существу, сколько по удобству словоупотребления). Если же необходимо конкретизировать, в математическом стиле приходится или говорить довольно длинно ("вектор такого-то и такого-то пространства"), или иметь в виду подразумеваемое явно описанным контекстом.
В физике же практически всегда речь идет не о математических объектах (обладающих теми или иными формальными свойствами) вообще, а об определенной их конкретной ("физической") привязке. Учитывая эти соображения конкретности с соображениями краткости и удобства, можно понять, что терминологическая практика в физике заметно отличается от математической. Однако она не входит с последней в явное противоречие. Этого удается достичь несколькими простыми "приемами". Прежде всего, к ним относится соглашение об употребление термина по умолчанию (когда контекст особо не оговаривается). Так, в физике, в отличие от математики, под словом вектор без дополнительных уточнений обычно понимается не "какой-то вектор любого линейного пространства вообще", а прежде всего вектор, связанный с "обычным физическим пространством" (трехмерным пространством классической физики или четырехмерным пространством-временем[2] физики релятивистской). Для векторов же пространств, не связанных прямо и непосредственно с "физическим пространством" или "пространством-временем", как раз применяют специальные названия (иногда включающие слово "вектор", но с уточнением). Если вектор некоторого пространства, не связанного прямо и непосредственно с "физическим пространством" или "пространством-временем" (и которое трудно сразу как-то определенно охарактеризовать), вводится в теории, он часто специально описывается как "абстрактный вектор".
Всё сказанное еще в большей степени, чем к термину "вектор", относится к термину "векторная величина". Умолчание в этом случае еще жестче подразумевает привязку к "обычному пространству" или пространству-времени, а употребление по отношению к элементам абстрактных векторных пространств скорее практически не встречается, по крайней мере, такое применение видится редчайшим исключением (если вообще не оговоркой).
В физике векторами чаще всего, а векторными величинами - практически всегда - называют векторы двух сходных между собою классов:
Примеры векторных физических величин: скорость, сила, поток тепла.
Каким образом физические "векторные величины" привязаны к пространству? Прежде всего, бросается в глаза то, что размерность векторных величин (в том обычном смысле употребления этого термина, который разъяснен выше) совпадает с размерностью одного и того же "физического" (и "геометрического") пространатсва, например, пространство трехмерно и вектор электрического поля трехмерен. Интуитивно можно заметить также, что любая векторная физическая величина, какую бы туманную связь она не имела с обычной пространственной протяженностью, тем не менее имеет вполне определенное направление именно в этом обычном пространстве.
Однако оказывается, что можно достичь и гораздо большего, прямо "сведя" весь набор векторных величин физики к простейшим "геометрическим" векторам, вернее даже - к одному вектору - вектору элементарного перемещения, а более правильно было бы сказать - произведя их всех от него.
Эта процедура имеет две различные (хотя по сути детально повторяющие друг друга) реализации для трехмерного случая классической физики и для четырехмерной пространственно-временной формулировки, обычной для современной физики.
Будем исходить из обычного трехмерного "геометрического" пространства, в котором мы живем и можем перемещаться.
В качестве исходного и образцового вектора возьмем вектор бесконечно малого перемещения. Довольно очевидно, что это обычный "геометрический" вектор (как и вектор конечного перемещения).
Заметим теперь сразу, что умножение вектора на скаляр всегда дает новый вектор. То же можно сказать о сумме и разности векторов. В этой главе мы не будем делать разницы между полярными и аксиальными векторами[7], поэтому заметим, что и векторное произведение двух векторов дает новый вектор.
Также новый вектор дает дифференцирование вектора по скаляру (поскольку такая производная есть предел отношения разности векторов к скаляру). Это можно сказать дальше и о производных всех высших порядков. То же верно по отношению к интегрированию по скалярам (времени, объему).
Теперь заметим, что, исходя из радиус-вектора r или из элементарного перемещения dr, мы легко понимаем, что векторами являются (поскольку время - скаляр) такие кинематические величины, как
Из скорости и ускорения, умножением на скаляр (массу), появляются
Поскольку нас сейчас интересуют и псевдовекторы, заметим, что
Продолжая эту процедуру, мы обнаруживаем, что все известные нам векторные величины оказываются теперь не только интуитивно, но и формально, привязаны к исходному пространству. А именно все они в некотором смысле являются его элементами, т.к. выражаются в сущности как линейные комбинации других векторов (со скалярными множителями, возможно, и размерными, но скалярными, а поэтому формально вполне законными).
Ту же процедуру можно проделать исходя из четырехмерного перемещения. Оказывается, что все 4-векторные величины "происходят" от 4-перемещения, являясь поэтому в некотором смысле такими же векторами пространства-времени, как и само 4-перемещение.
Векторная величина.