Комбинаторная или дискретная геометрия — раздел геометрии, в котором изучаются комбинаторные свойства геометрических объектов и связанные с ними конструкции. В комбинаторной геометрии рассматривают конечные и бесконечные дискретные множества или структуры базовых однотипных геометрических объектов (точек, прямых, окружностей, многоугольников, тел с одинаковым диаметром, целочисленных решёток и т. п.) и ставят вопросы, связанные со свойствами различных геометрических конструкций из этих объектов или на этих структурах. Проблемы комбинаторной геометрии простираются от конкретных «предметно» — комбинаторных вопросов (хотя и не всегда с простыми ответами) — замощения, упаковка кругов на плоскости, формула Пика — до вопросов общих и глубоких — гипотеза Борсука, проблема Нелсона — Эрдёша — Хадвигера.
Восемь точек в общем положении для которых нет выпуклого пятиугольника.
Теорема Эрдёша — Секереша о выпуклых многоугольниках утверждает, что в любом достаточно большом множестве точек в общем положении на плоскости можно найти точек, являющихся вершинами выпуклого многоугольника. Гипотеза Эрдёша — Секереша о минимальном числе точек, обязательно содержащих выпуклый -угольник на сегодня не доказана. Данная задача является также задачей теории Рамсея.
Теорема Минковского о выпуклом теле. Пусть — замкнутое выпуклое тело, симметричное относительно начала координат , -мерного евклидова пространства, имеющее объём Тогда в найдётся целочисленная точка отличная от . Эта теорема положила начало геометрии чисел.
Гипотеза Борсука утверждает, что любое тело диаметра в -мерном евклидовом пространстве можно разбить на часть так, что диаметр каждой части будет меньше . Эта гипотеза была доказана для размерностей и , но опровергнута для пространств большой размерности. По известной сегодня оценке она не верна для пространств размерности 298 и более[2].
New sets with large Borsuk numbers, Discrete Math.270 (2003), 137—147
Ссылки
Bezdek, András; Kuperberg, W. Discrete geometry: in honor of W. Kuperberg's 60th birthday. — New York, N.Y: Marcel Dekker, 2003. — ISBN 0-8247-0968-3
Bezdek, Károly Classical Topics in Discrete Geometry. — New York, N.Y: Springer, 2010. — ISBN 978-1-4419-0599-4
Research problems in discrete geometry. — Berlin: Springer, 2005. — ISBN 0-387-23815-8
Combinatorial geometry. — New York: Wiley-Interscience, 1995. — ISBN 0-471-58890-3
Goodman, Jacob E. and O'Rourke, Joseph Handbook of Discrete and Computational Geometry, Second Edition. — Boca Raton: Chapman & Hall/CRC, 2004. — ISBN 1-58488-301-4
Gruber Peter M. Convex and Discrete Geometry. — Berlin: Springer, 2007. — ISBN 3-540-71132-5
Matoušek, Jiří Lectures on discrete geometry. — Berlin: Springer, 2002. — ISBN 0-387-95374-4
Vladimir Boltyanski, Horst Martini, Petru S. Soltan, Excursions into Combinatorial Geometry. — Springer, 1997. — ISBN 3-540-61341-2
