Контактное число (англ. kissing numbers, число Ньютона[1][2], в химии соответствует координационному числу[2]) — максимальное количество шаров единичного радиуса, которые могут одновременно касаться одного такого же шара в n-мерном евклидовом пространстве (предполагается, что шары не проникают друг в друга, то есть объём пересечения любых двух шаров равен нулю).
Следует отличать контактное число от контактного числа на решётке[3] — аналогичного параметра для плотнейшей регулярной упаковки шаров. Вычисление контактного числа в общем случае до сих пор является нерешённой математической задачей.
Содержание |
В одномерном случае задача формулируется так: сколько отрезков единичной длины могут касаться такого же отрезка? Легко показать, что ответ — 2:
В двумерном случае можно интерпретировать задачу как нахождение максимального числа монеток, касающихся центральной. Легко доказать (просто приведя пример), что можно разместить 6 монет:
Это значит, что . С другой стороны, каждая касающаяся окружность отсекает на центральной окружности дугу в 60°, и эти дуги не пересекаются, значит . Видно, что в данном случае оценки сверху и снизу совпали и .
В трехмерном случае речь уже идет о шарах. Здесь также легко построить пример с 12 шарами, касающимися центрального — они расположены в вершинах икосаэдра — поэтому . Данная нижняя оценка была известна ещё Ньютону.
Это расположение не плотное, между шарами будут довольно заметные зазоры. Оценка же сверху стала причиной известного спора между Ньютоном и Д. Грегори в 1694 году. Ньютон утверждал, что , а Грегори возражал, что может быть можно расположить и 13 шаров. Он провёл вычисления, и выяснил, что площадь центрального шара более чем в 14 раз больше площади проекции каждого из касающихся шаров, так что . Если позволить менять радиусы шаров всего на 2 % то оказывается возможным прислонить 14 шаров! Лишь в 1953 году в статье Шютте и ван дер Вардена[4] была окончательно установлена правота Ньютона, несмотря на отсутствие у того строгого доказательства.
В четырёхмерном случае представить себе шар уже довольно сложно. Размещение 24 четырёхмерных сфер вокруг центральной было известно довольно давно, оно столь же регулярное, как и в двумерном случае и решает одновременно и задачу о контактном числе на решётке. Это то же размещение, что у целых единичных кватернионов. В явном виде это расположение было указано в 1900 году Госсетом.[5] Ещё раньше оно было найдено (в эквивалентной задаче) в 1872 году российскими математиками Коркиным и Золотарёвым.[6][7] Это расположение дало оценку снизу . Попытки оценить это число сверху привели к развитию тонких методов теории функций, но не давали точного результата. Сначала удалось доказать, что , потом удалось снизить верхнюю границу до 25. И лишь в 2003 году российскому математику Олегу Мусину удалось доказать, что .[8]
В размерности 8 и 24 точные оценки была получена гораздо раньше[9][10]. Доказательство основано на равенстве контактного числа и контактного числа на решётке в этих размерностях: решётки E8 (для размерности 8) и решётки Лича (для размерности 24).
На данный момент точные значения контактных чисел известны лишь для , а также для и . Для некоторых других значений известны верхние и нижние оценки.
| Размерность | Нижняя граница |
Верхняя граница |
|---|---|---|
| 1 | 2 | |
| 2 | 6 | |
| 3 | 12 | |
| 4 | 24[8] | |
| 5 | 40 | 44[11] |
| 6 | 72 | 78[11] |
| 7 | 126 | 134[11] |
| 8 | 240 | |
| 9 | 306 | 364[11] |
| 10 | 500 | 554 |
| 11 | 582 | 870 |
| 12 | 840 | 1 357 |
| 13 | 1 154[12] | 2 069 |
| 14 | 1 606[12] | 3 183 |
| 15 | 2 564 | 4 866 |
| 16 | 4 320 | 7 355 |
| 17 | 5 346 | 11 072 |
| 18 | 7 398 | 16 572[11] |
| 19 | 10 688 | 24 812[11] |
| 20 | 17 400 | 36 764[11] |
| 21 | 27 720 | 54 584[11] |
| 22 | 49 896 | 82 340 |
| 23 | 93 150 | 124 416 |
| 24 | 196 560 | |
Задача имеет и вполне практическое применение в теории кодирования.
| Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её. |
Контактное число.
