Метод неделимых — возникшее в конце XVI века наименование совокупности приёмов для вычисления площадей фигур или объёмов геометрических тел[1]. Идея метода для плоских фигур состояла в том, чтобы разделить эти фигуры на отрезки нулевой ширины («неделимые», обычно это параллельные отрезки), которые потом «собираются» без изменения их длины и образуют другую фигуру, площадь которой уже известна (см. ниже примеры). Вычисление объёма пространственных тел происходит аналогично, только они разделяются не на отрезки, а на «неделимые» плоские фигуры. Формализация этих приёмов во многом определила в дальнейшем зарождение и развитие интегрального исчисления.
Наиболее полное выражение и теоретическое обоснование метод неделимых получил в работе итальянского математика Бонавентуры Кавальери «Геометрия неделимых непрерывных, выведенная из некоего нового подсчёта» (Geometria indivisibilibus continuorum nova quadam ratione promota)[2][3]:
Фигуры относятся друг к другу, как все их линии, взятые по любой регуле [базе параллельных], а тела — как все их плоскости, взятые по любой регуле.
Если два тела имеют одинаковую высоту, и если сечения тел, равноудалённые и параллельные плоскости, на которой те покоятся, всегда останутся в заданном отношении, то и объёмы тел останутся в этом отношении.
.
В современном виде:
Принцип Кавальери явился одним из первых шагов на пути к интегральному исчислению. В частности, используя обозначения бесконечно малых, он доказал теорему, эквивалентную современной формуле:
Принцип Кавальери используется до сих пор, например в теореме Тонелли — Фубини в обобщённом виде, но обычно те же следствия получают непосредственно интегрированием.
Математики сразу указали на возможность ошибочного применения принципа Кавальери; один из таких примеров привёл сам Кавальери в письме к Торричелли (см. рисунок). Треугольники ABD и BCD состоят из вертикальных неделимых, причём каждой неделимой левого треугольника (EF) можно взаимно-однозначно сопоставить неделимую той же длины (GH) правого треугольника. Отсюда, согласно принципу Кавальери, следует ошибочный вывод, что площади треугольников равны[4]. Тем не менее ясного правила для избежания ошибок Кавальери не дал.
Пример 1. Вычислим площадь круга. Формула для длины окружности: считается известной.
Разобьём круг (слева на рис. 1) на бесконечно малые кольца. Рассмотрим также треугольник (справа на рис. 1) с длиной основания L и высотой R, который тоже разобъём сечениями параллельно основанию. Каждому кольцу радиуса R и длины можно сопоставить одно из сечений треугольника той же длины. Тогда, по принципу Кавальери, их площади равны. А площадь треугольника найти несложно:
.
Пример 2. Вычислим объём полушария радиуса r. Формулы для площади круга (пример 1), а также для объёма конуса и цилиндра считаются известными.
Проведём сечения полушария плоскостями, параллельными его основанию. Полушарие разобьётся на бесконечно малые круги (рис.3, слева). На высоте h площадь сечения будет равна , или (по теореме Пифагора) .
Далее рассмотрим круговой цилиндр высоты r, с радиусом основания тоже r, из которого вырезан конус острием вниз (справа на рис. 3). Рассечём и это тело параллельно основанию. В сечении на высоте h получится кольцо площадью . Замечаем, что эта площадь такая же, как и для полушария.
Следовательно, по принципу Кавальери, объёмы обоих тел равны. Объём тела справа равен
Вывод: объём полного шара равен
Уже Архимед в своих исследованиях рассекал пространственное тело параллельными плоскостями и представлял это тело как своего рода альбом, объединение таких сечений (инфинитезимальное разложение, то есть разложение на бесконечно малые элементы). Здесь возможно влияние атомистов с их «неделимыми». Однако Архимед считал обязательным передоказывать результаты, полученные с помощью метода неделимых, строгим методом исчерпывания. Европейские математики, начиная с XVI века, тоже применяли метод исчерпывания для проведения квадратур (вычисления площадей) и определения центров тяжести.
В XVII веке сразу несколько математиков реализуют идею инфинитезимального разложения плоской фигуры или трёхмерного тела. Среди них Непер, Кеплер, Декарт, Ферма, Кавальери и др. Строго обосновать новый метод они не могли, ссылаясь на то, что результаты получаются правильные, и при желании эти результаты можно доказать громоздким классическим методом. В большинстве случаев это было верно, однако не всегда — например, при вычислении площади неограниченной фигуры метод исчерпывания был неприменим, а новый метод нередко давал верный результат. Классический подход не работал также при суммировании многих рядов и в других случаях работы с бесконечностью.
В труде «Новая астрономия» Кеплер часто использует понятие «неделимых», в том числе при формулировке своих трёх законов движения планет; например, вместо площади он упоминал «сумму радиус-векторов». В «Новой стереометрии винных бочек» он находит объём множества тел, полученных вращением конических сечений; для вычисления объёма Кеплер разлагает тело в набор сечений и затем собирает этот набор в ином теле, объём которого известен. Большинство его результатов были правильны, хотя несколько ошибок Кеплер всё же допустил[5].
Галилей был знаком с методом неделимых, однако отчётливо видел его слабые и опасные стороны. В переписке и последних трудах он размышляет о сущности бесконечности, показывает, что бесконечное множество может быть равносчётно своей части, имеющей меньшую меру, так что рассуждения о неделимых плохо обоснованы. Тем не менее он сам фактически использовал неделимые при исследовании равноускоренного движения[5].
Наиболее ярким и влиятельным представителем «геометрии неделимых» был Кавальери. В его изложении инфинитезимальные представления Кеплера обрели вид общих вычислительных приёмов.
Мощь и относительная простота нового метода произвели чрезвычайно сильное впечатление на математиков. Целые поколения, от Валлиса до Лейбница, учились у Кавальери. Торричелли назвал метод неделимых «царской дорогой» в геометрии.
Валлис, ознакомившись с методом Кавальери по книге Торричелли, решил провести его алгебраизацию. Вместо геометрического преобразования сечений он строит в «Арифметике бесконечных» (1656) числовые ряды, которые мы сейчас называем интегральными суммами, и находит эти суммы.
Независимо от Валлиса и лет на 30 раньше эти интегралы вычислили Ферма и Роберваль. В посмертно опубликованном сочинении Ферма виртуозно применяет такие приёмы, как интегрирование по частям и замена переменных, что позволило ему вычислить множество сложных интегралов от дробно-рациональных функций и от многочленов с дробными степенями.
Мемуар Ферма получил широкую известность, так как он почти полностью покрывает результаты Кавальери, но при этом изложенные методы существенно компактнее и понятнее. Кроме того, интегральные суммы оказались применимы к задачам, недоступным для метода Кавальери — например, спрямление (измерение дуги) кривой. Роберваль исследовал спираль Архимеда, Ферма и Торричелли в 1640-е годы — параболы и спирали высших порядков. Кристофер Рен спрямил циклоиду (1658).
Учитывая уязвимость для критики тех открытий, которые получены с помощью метода неделимых, многие математики (Ферма, Паскаль, Барроу и др.) отмечали в своих работах, что все их результаты могут быть без труда передоказаны строгими методами древних. Барроу, правда, сделал к этой оговорке ироничное добавление: «только зачем?».[6]
Декарт использовал инфинитезимальные методы в своей «Оптике», но в целом старался не углубляться в эту область. В трактате «Геометрия» он высказал мнение, что спрямление алгебраических линий невозможно. Это утверждение было опровергнуто лишь через двадцать лет: в 1650-х гг. сразу четыре математика, включая Ферма и Гюйгенса, дали спрямление полукубической параболы. Впрочем, и сам Декарт успешно спрямил, правда, не алгебраическую, а трансцендентную кривую — логарифмическую спираль, длина дуги которой, считая от полюса, пропорциональна радиус-вектору конца дуги — свойство, которое знал и Торричелли.
Идея Валлиса — алгебраизация метода бесконечно малых — достигла высшего развития после открытия математического анализа Ньютоном и Лейбницем. В своих «Началах» Ньютон дал первый набросок общей теории пределов (11 лемм), при этом он не постулирует аналог принципа Кавальери, а строго его доказывает (следствие из леммы IV):
Если вообще две какого угодно рода величины будут разделены на одинаковое число частей и, при бесконечном возрастании числа их и уменьшении каждой из них, отношение их соответственно друг к другу, то есть первой к первой, второй ко второй и т. д., остаётся постоянным, то и самые величины будут находиться в этом же отношении.
Здесь неделимые заменены на переменные, величина которых стремится к нулю; при этом «парадокса Кавальери» уже не может возникнуть, поскольку отношение сравниваемых в парадоксе величин (ширины малых четырёхугольников в разбиении) не равно единице.
После создания анализа метод неделимых представлял уже только исторический интерес. Однако ещё более века, до работ Коши, обоснование анализа бесконечно малых было столь же неубедительным, как и у метода неделимых.
Метод неделимых.