Отношение эквивалентности () на множестве — это бинарное отношение, для которого выполнены следующие условия:
- Рефлексивность: для любого в ,
- Симметричность: если , то ,
- Транзитивность: если и , то .
Запись вида «» читается как « эквивалентно ».
Связанные определения
- Классом эквивалентности элемента называется подмножество элементов, эквивалентных . Из вышеприведённого определения немедленно следует, что, если , то .
Множество всех классов эквивалентности обозначается .
- Для класса эквивалентности элемента используются следующие обозначения: , , .
- Множество классов эквивалентности по отношению является разбиением множества.
Примеры отношений эквивалентности
- Равенство («»), тривиальное отношение эквивалентности на любом множестве, в частности, вещественных чисел.
- Сравнение по модулю, («а ≡ b (mod n)»).
- В Евклидовой геометрии
- Эквивалентность функций в математическом анализе:
- Говорят, что функция эквивалентна функции при , если она допускает представление вида , где при . В этом случае пишут , напоминая при необходимости, что речь идет о сравнении функций при . Если при , эквивалентность функций и при , очевидно, равносильна соотношению .
- Отношение равномощности множеств.
Факторизация отображений
Множество классов эквивалентности, отвечающее отношению эквивалентности , обозначается символом и называется фактор-множеством относительно . При этом сюръективное отображение
называется естественным отображением (или канонической проекцией) на фактор-множество .
Пусть , — множества, — отображение, тогда бинарное отношение определённое правилом
является отношением эквивалентности на . При этом отображение индуцирует отображение , определяемое правилом
или, что то же самое,
- .
При этом получается факторизация отображения на сюръективное отображение и инъективное отображение .
Литература
- А. И. Кострикин, Введение в алгебру. М.: Наука, 1977, 47—51.
- А. И. Мальцев, Алгебраические системы, М.: Наука, 1970, 23—30.
- В. В. Иванов, Математический анализ. НГУ, 2009.
См. также