Симметричной (Симметрической) называют квадратную матрицу, элементы которой симметричны относительно главной диагонали. Более формально, симметричной называют такую матрицу , что .

Это означает, что она равна её транспонированной матрице:

Примеры

Свойства

Симметричная матрица всегда квадратная.

Для любой симметричной матрицы A с вещественными элементами справедливо следующее:

• она имеет вещественные собственные значения
• её собственные векторы, соответствующие разным собственным значениям, ортогональны друг другу:

• из её собственных векторов всегда можно составить ортонормальный базис
• матрицу A можно привести к диагональному виду: , где — ортогональная матрица, столбцы которой содержат базис из собственных векторов, а D — диагональная матрица с собственными значениями матрицы A на диагонали.
• Если у симметричной матрицы A единственное собственное значение , то она имеет диагональный вид: , где — единичная матрица, в любом базисе.