Су́мма (лат. summa — итог, общее количество), результат сложения величин (чисел, функций, векторов, матриц и т. д.). Общими для всех случаев являются свойства коммутативности, ассоциативности, а также дистрибутивности по отношению к умножению (если для рассматриваемых величин умножение определено), то есть выполнение соотношений:

• а + b = b + а
• а + (b + с) = (а + b) + с
• (а + b) с = ас + bc
• с (а + b) = ca + cb

В теории множеств суммой (или объединением) множеств называется множество, элементами которого являются все элементы слагаемых множеств, взятые без повторений.

Определенная сумма

Часто для краткости сумму n слагаемых a_k, a_k+1, …, a_N обозначают заглавной греческой буквой Σ (сигма):

Это обозначение называют определённой (конечной) суммой a_i по i от k до N.
Для удобства вместо иногда пишут , где - некоторое соотношение для , таким образом это конечная сумма всех , где
Свойства определённой суммы:

Примеры

1. Сумма арифметической прогрессии:

2. Сумма геометрической прогрессии:

1. • При получаем , а это последовательность равенств следующего вида:
     

Неопределённая сумма

Неопределённой суммой a_i по i называется такая функция f(i), обозначаемая , что .

Формула Ньютона-Лейбница

Если найдена неопределённая сумма , то . 

Этимология

Латинское слово summa переводится как «главный пункт», «сущность», «итог». С XV века слово начинает употребляться в современном смысле, появляется глагол «суммировать» (1489 год).

Это слово проникло во многие современные языки: сумма в русском, sum в английском, somme во французском.

Специальный символ для обозначения суммы (S) первым ввёл Эйлер в 1755 году. Как вариант, использовалась греческая буква Сигма Σ. Позднее ввиду связи понятий суммирования и интегрирования, S также использовали для обозначения операции интегрирования.

См. также

• Контрольная сумма