Сферическую систему координат удобно определять, соотносясь с декартовой прямоугольной системой координат (см. рисунок):

Сферическими координатами называют систему координат для отображения геометрических свойств фигуры в трёх измерениях посредством задания трёх координат , где  — расстояние до начала координат, а и  — зенитный и азимутальный угол соответственно.

Понятия зенит и азимут широко используются в астрономии. Вообще зенит — это направление вертикального подъёма над произвольно выбранной точкой (точкой наблюдения), принадлежащей так называемой фундаментальной плоскости. В качестве фундаментальной плоскости в астрономии может быть выбрана плоскость, в которой лежит экватор, или плоскость, в которой лежит горизонт, или плоскость эклиптики и т. д., что порождает разные системы небесных координат. Азимут — угол между произвольно выбранным лучом фундаментальной плоскости с началом в точке наблюдения и другим лучом этой плоскости, имеющим общее начало с первым.

Применительно к нашему рисунку сферической системы координат, фундаментальная плоскость — это плоскость xy. Зенит — некая удалённая точка, лежащая на оси Z и видимая из начала координат. Азимут отсчитывается от оси X до проекции радиус-вектора r на плоскость xy. Это объясняет названия углов, как и то, что сферическая система координат может служить обобщением (пусть хотя бы и приближённым) множества видов систем небесных координат.

Определения

Три координаты определены как:

•  — расстояние от начала координат до заданной точки .
•  — угол между осью и отрезком, соединяющим начало координат и точку .
•  — угол между осью и проекцией отрезка, соединяющего начало координат с точкой , на плоскость (в Америке углы и меняются ролями^{[источник не указан 221 день]}).

Угол называется зенитным, или полярным, или нормальным, а также он может быть назван английским словом colatitude, а угол  — азимутальным. Углы и не имеют значения при , а не имеет значения при (то есть при или ).

Зависимо или независимо от стандарта (ISO 31-11), существует и такое соглашение или конвенция (англ. convention), когда вместо зенитного угла , используется угол между проекцией радиус-вектора точки r на плоскость xy и самим радиус-вектором r, равный  — . Он называется углом подъёма и может быть обозначен той же буквой . В этом случае он будет изменяться в пределах .

Тогда углы и не имеют значения при , так же как и в первом случае, а не имеет значения при , (уже при или ).

Переход к другим системам координат

• Декартова система координат
  • Если заданы сферические координаты точки, то переход к декартовым осуществляется по формулам:

    

  • Обратно, от декартовых к сферическим:

    

    • (здесь, конечно, требуется определенное естественное уточнение для значений вне первого октанта; то же для всех формул с арктангенсом здесь и ниже; впрочем, замена на соответствующую формулу с арккосинусом снимает этот вопрос в отношении координаты ).
  • Якобиан преобразования от декартовых к сферическим:

• Цилиндрическая система координат
  • Если заданы сферические координаты точки, то переход к цилиндрическим осуществляется по формулам:

    

  • Обратно от цилиндрических к сферическим:

    

  • Якобиан преобразования от сферических к цилиндрическим:

Дифференциальные характеристики

Сферические координаты являются ортогональными, поэтому метрический тензор имеет в них диагональный вид:

• Квадрат дифференциала длины дуги:

• Коэффициенты Ламе:

• Символы Кристоффеля :

Остальные равны нулю.

См. также

• Системы небесных координат
• Полярная система координат
• Цилиндрическая система координат
• Углы Эйлера

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Сферические координаты (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.