Теорема косинусов — теорема евклидовой геометрии, обобщающая теорему Пифагора:
Для плоского треугольника со сторонами и углом , противолежащим стороне , справедливо соотношение:
|
Рассмотрим треугольник ABC. Из вершины C на сторону AB опущена высота CD. Из треугольника ADC следует:
Запишем теорему Пифагора для двух прямоугольных треугольников ADC и BDC:
Приравниваем правые части уравнений (1) и (2) и:
или
Случай, когда один из углов при основании тупой (и высота падает на продолжение основания), полностью аналогичен рассмотренному.
Выражения для сторон b и c:
Одно из самых красивых и простых доказательств теоремы косинусов является доказательство её в координатной плоскости.
Внесём в координатную плоскость произвольный треугольник ABC так, чтобы точка А совпала с началом координат, а прямая АВ лежала на прямой ОХ. Введём обозначения AB=c,AC=b,CB=a, a угол CAB=α(пока будем считать что α≠90°).
Тогда точка A имеет координаты (0;0), точка B(c;0). Через функцию sin и cos, а также сторону АС=b выведем координаты точки С. С(b×cosα;b×sinα). Координаты точки С остаются неизменными при тупом и остром угле α.
Зная координаты С и B, а также зная, что CB=a, найдя длину отрезка, мы можем составить равенство:
Так как
(основное тригонометрическое тождество), то
Теорема доказана.
Стоит отметить, что для прямого угла α, теорема также работает cos90°=0 и a²=b²+с² - известная всем теорема Пифагора. Но так как в основе координатного метода лежит теорема Пифагора, то доказательство её через теорему косинусов не совсем правильно.
Содержание |
Следствие теоремы косинусов опирается на свойства функции cos:
Теперь из полученной ранее формулы выразим соsα:
, при любых b и c (так как это положительные длины сторон), значит:
Утверждения, обобщающие теорему Пифагора и эквивалентные теореме косинусов, были сформулированы отдельно для случаев острого и тупого угла в 12 и 13 предложениях II книги «Начал» Евклида.
Утверждения, эквивалентные теореме косинусов для сферического треугольника, применялись в сочинениях математиков стран Средней Азии. Теорему косинусов для сферического треугольника в привычном нам виде сформулировал Региомонтан, назвав её «теоремой Альбатегния» (по имени ал-Баттани).
В Европе теорему косинусов популяризовал Франсуа Виет в XVI столетии. В начале XIX столетия её стали записывать в принятых по сей день алгебраических обозначениях.
Возводя в квадрат тождество можно получить утверждение, иногда называемое теоремой косинусов для четырёхугольников:
Или иначе:
при этом мы должны зачеркнуть строку и столбец, где находится или .
A — угол между гранями и , -грань, находящаяся против вершины i ,- расстояние между вершинами i и j.
Теорема косинусов.