Решётка в теории групп — дискретная подгруппа в группе Ли, факторпространство по которой имеет конечный объём в смысле меры Хаара. В частности, любая дискретная кокомпактная подгруппа группы Ли — решётка.

Решётки в евклидовом пространстве

В случае , решётки — в точности дискретные абелевы подгруппы максимального вектора, то есть подгруппы, имеющие вид

где вектора линейно независимы

Связанные понятия

Решётка называется:

• Целой, если скалярное произведение между любыми двумя её векторами целое:

• Чётной, если норма^[1] любого её вектора чётная:

• Унимодулярной, если фактор по ней имеет объём 1, или, что то же самое, если объём 1 имеет её фундаментальный параллелепипед.

Двойственной решёткой к решётке называется решётка , определённая как

Решётка называется самодвойственной, если она совпадает с двойственной к себе.

Свойства

• Если решётка целая, то .
• Кообъёмы решётки и двойственной к ней в произведении дают 1.
• Целая унимодулярная решётка автоматически самодвойственна.
• Чётные самодвойственные решётки существуют только в пространствах размерностей, кратных восьми.

Решётки в SL(2,R)

В случае группы Ли , решётка уже не обязательно кокомпактна: так, для подгруппы объём фактора по ней конечен, однако не является кокомпактной (фактор по ней — единичное касательное расслоение к модулярной поверхности, имеющей каспидальную особенность, и, тем самым, некомпактной).

Примечания

Литература

• Дж. Конвей, Н. Слоэн. Упаковки шаров, решетки и группы. — М.: Мир, 1990.