Ка́нторово мно́жество есть один из простейших фракталов, подмножество единичного отрезка вещественной прямой, которое является классическим примером «плохого множества» в математическом анализе. Описано в 1883 году Г. Кантором.

Определения

Классическое построение

Из единичного отрезка удалим среднюю треть, т. е. интервал . Оставшееся точечное множество обозначим через . Множество состоит из двух отрезков; удалим теперь из каждого отрезка его среднюю треть, и оставшееся множество обозначим через . Повторив эту процедуру опять, удаляя средние трети у всех четырёх отрезков, получаем . Дальше таким же образом получаем . Обозначим через пересечение всех . Множество называется Канторовым множеством.

С помощью троичной записи

Канторово множество может быть также определено как множество чисел от нуля до единицы, которые можно представить в троичной записи с помощью только нулей и двоек. При этом следует отметить, что число принадлежит Канторовому множеству, если у него есть одно такое представление, например так как .

Как аттрактор

Рассмотрим все последовательности точек такие, что для любого n,

или .

Тогда множество пределов всех таких последовательностей является Канторовым множеством.

Свойства

• Канторово множество является нигде не плотным совершенным множеством.
  • В частности, оно замкнуто.
• Канторово множество континуально. В частности,
  • Канторово множество не счётно
• Канторово множество имеет топологическую размерность 0.
• Канторово множество имеет промежуточную (т.е. не целую) Хаусдорфову размерность равную . В частности,
  • Канторово множество имеет нулевую меру Лебега.

См. также

• Канторова лестница
• Функция Минковского