Размерность Лебега или топологическая размерность — размерность, определенная посредством покрытий, важнейший инвариант топологического пространства. Размерность Лебега пространства обычно обозначается .

Определение

Для метрических пространств

Для компактного метрического пространства размерность Лебега определяется как наименьшее целое число , обладающее тем свойством, что при любом существует конечное открытое -покрытие , имеющее кратность ;

При этом

• -покрытием метрического пространства называется покрытие, все элементы которого имеют диаметр , а
• кратностью конечного покрытия пространства называется наибольшее такое целое число , что существует точка пространства , содержащаяся в элементах данного покрытия.

Для топологических пространств

Для произвольного нормального (в частности, метризуемого) пространства размерностью Лебега называется наименьшее целое число такое, что ко всякому конечному открытому покрытию пространства существует вписанное в него (конечное открытое) покрытие кратности .

При этом покрытие называется вписанным в покрытие , если каждый элемент покрытия является подмножеством хотя бы одного элемента покрытия .

Примеры

• Нульмерные пространства: одноточечное пространство, дискретное пространство, канторово множество.
  • См. также нульмерное пространство.
• Одномерные пространства: окружность, треугольник Серпинского, ковёр Серпинского, губка Менгера
  • См. также кривая Урысона

История

Впервые введена Лебегом. Он высказал гипотезу, что размерность -мерного куба равна . Брауэр впервые доказал это. Точное определение инварианта (для класса метрических компактов) дал Урысон.

Литература

• Александров П.С., Пасынков Б.А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973