Топологи́ческое простра́нство — основной объект изучения топологии (термин «топология» в его рамках — см. ниже). Исторически, понятие топологического пространства появилось как обобщение метрического пространства, в котором рассматриваются только свойства непрерывности.

Топологические пространства естественным образом возникают почти во всех разделах математики.

Определение

Пусть дано множество . Система его подмножеств называется тополо́гией на , если выполнены следующие условия:

1. Объединение произвольного семейства множеств, принадлежащих , принадлежит , то есть если , то .
2. Пересечение конечного семейства множеств, принадлежащих , принадлежит , то есть если , то .
3. .

Пара называется топологическим пространством. Множества, принадлежащие , называются открытыми множествами.

Примеры

• Связное двоеточие — двуточечное топологическое пространство.

• Вещественная прямая является топологическим пространством, если, например, назвать открытыми множествами произвольные (пустые, конечные или бесконечные) объединения конечных или бесконечных интервалов. Множество всех конечных открытых интервалов является базой этой топологии. Это — стандартная топология на прямой. Вообще же на множестве вещественных чисел можно ввести очень разнообразные топологии, например, , прямая с «топологией стрелки», где открытые множества имеют вид , или топология Зарисского, в которой любое замкнутое множество — это конечное множество точек.

• Вообще, евклидовы пространства являются топологическими пространствами. Базой их стандартной топологии можно выбрать открытые шары или открытые кубы.

• Обобщая далее, всякое метрическое пространство является топологическим пространством, базу топологии которого составляют открытые шары. Таковы, например, изучаемые в функциональном анализе бесконечномерные пространства функций.

• Рассмотрим множество непрерывных отображений топологического пространства в топологическое пространство . Оно является топологическим пространством относительно следующей топологии, которая называется компактно-открытой. Зададим предбазу множествами , состоящими из отображений, при которых образ компакта в лежит в открытом множестве в .

• Произвольное множество можно сделать топологическим пространством, если называть открытыми все его подмножества. Такая топология называется дискретной. В ней любые множества являются открытыми. Другой предельный случай — назвать открытыми минимально возможное количество подмножеств , а именно, ввести тривиальную топологию — в ней открытыми являются лишь пустое множество и само пространство .

Способы задания топологии

Задание топологии с помощью базы или предбазы

Не всегда удобно перечислять все открытые множества. Часто удобнее указать некоторый меньший набор открытых множеств, который порождает их все. Формализацией этого является понятие базы топологии. Подмножество топологии называется базой топологии, если всякое открытое множество представляется как объединение множеств из , то есть

Еще более экономный способ задания топологии состоит в задании её предбазы — множества, которое становится базой, если к нему прибавить произвольные конечные пересечения его элементов. Для того, чтобы систему множеств можно было объявить предбазой топологии, необходимо и достаточно, чтобы она покрывала всё множество .

Наиболее часто предбазы используются для задания топологии, индуцированной на семейством отображений (см. далее).

Индуцированная топология

Пусть  — произвольное отображение, множества в топологическое пространство . Индуцированная топология даёт естественный способ введения топологии на : За открытые множества в берутся всевозможные прообразы открытых множеств в ; то есть открыто, если существует открытое такое что .

Задание топологии с помощью замкнутых множеств

Множество называется замкнутым, если его дополнение  — открытое множество. Задать топологию на системой замкнутых множеств — значит предъявить систему подмножеств X со свойствами:

1. Система замкнута относительно операции пересечения множеств (в том числе бесконечных семейств):

2. Система замкнута относительно операции объединения множеств (в конечном количестве):

3. Множества включены в систему .

Если система множеств с такими свойствами задана, с помощью операции дополнения строится система открытых множеств, задающая топологию на .

Пример. Пусть  — произвольное коммутативное кольцо с единицей. Спектром кольца называется множество всех его простых идеалов. На множестве топология вводится с помощью системы замкнутых множеств: пусть  — произвольный идеал кольца (не обязательно простой), тогда ему соответствует множество

Все множества такого вида образуют систему множеств, удовлетворяющую перечисленным аксиомам, так как

Спектр кольца — фундаментальный объект алгебраической геометрии.

Пример. Топология Зарисского в пространстве также задаётся с помощью системы замкнутых множеств. Замкнутыми множествами в топологии Зарисского принимаются все множества, являющиеся множеством общих нулей конечной системы многочленов. Выполнение аксиом системы замкнутых множеств следует из нётеровости кольца многочленов и того факта, что общие нули произвольной системы многочленов совпадают с общими нулями идеала, который они образуют.

Пространство естественно вложено в спектр кольца многочленов (оно совпадает с множеством всех его замкнутых точек), и топология Зарисского на совпадает с той, что индуцирована топологией пространства .

Непрерывные отображения

Понятие топологии является минимально необходимым для того, чтобы говорить о непрерывных отображениях. Интуитивно непрерывность есть отсутствие разрывов, то есть близкие точки при непрерывном отображении должны переходить в близкие. Оказывается, для определения понятия близости точек можно обойтись без понятия расстояния. Именно это и есть топологическое определение непрерывного отображения.

Отображение топологических пространств называется непрерывным, если прообраз всякого открытого множества открыт.

Категория всех топологических пространств, морфизмы которой — непрерывные отображения, является одной из важнейших категорий в математике. Попыткам классифицировать объекты этой категории при помощи алгебраических инвариантов посвящен раздел математической науки, который называется алгебраической топологией. Изучению понятий непрерывности, а также других понятий, таких как компактность или отделимость, как таковых, без обращения к другим инструментам, посвящена общая топология.

Дополнительные аксиомы

Три аксиомы, определяющие общий класс топологических пространств, чаще всего дополняются теми или иными аксиомами отделимости. В зависимости от тех или иных аксиом отделимости выделяют классы топологических пространств, например, тихоновские пространства, хаусдорфовы пространства, регулярные, вполне регулярные, нормальные пространства и др.

Наряду с аксиомами отделимости на свойства топологических пространств сильно влияет выполнение тех или иных аксиом счетности - первая аксиома счётности, вторая аксиома счётности (пространства со счетной базой топологии), а также сепарабельность пространства. Из наличия счетной базы топологии следует сепарабельность и выполнение первой аксиомы счетности. Кроме того, например, регулярные пространства со счетной базой являются нормальными и более того, метризуемы, то есть их топология может быть задана некоторой метрикой. Для компактных хаусдорфовых пространств наличие счетной базы топологии является необходимым и достаточным условием метризуемости. Для метрических пространств наличие счетной базы топологии и сепарабельность - эквивалентны.

См. также

• Глоссарий общей топологии

Литература

• Александров, П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию. — М.: ГИИТЛ, 1948.
• Келли, Дж. Л. Общая топология. — М.: Наука, 1968.
• Энгелькинг, Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986. — 752 с.