Многочле́ны Чебышева — две последовательности ортогональных многочленов и , названные в честь Пафнутия Львовича Чебышева.
Многочлены Чебышева играют важную роль в теории приближений, поскольку корни многочленов Чебышева первого рода используются в качестве узлов в интерполяции алгебраическими многочленами.
Многочлен Чебышева первого рода характеризуется как многочлен степени со старшим коэффициентом , который меньше всего отклоняется от нуля на интервале . Впервые рассмотрены самим Чебышёвым.
Многочлен Чебышева второго рода характеризуется как многочлен степени со старшим коэффициентом , интеграл от абсолютной величины которого по интервалу принимает наименьшее возможное значение. Впервые рассмотрены в совместной работе двух учеников Чебышева — Коркина и Золотарёва.
Содержание |
Многочлены Чебышева первого рода могут быть определены с помощью рекуррентного соотношения:
Многочлены Чебышева второго рода могут быть определены с помощью рекуррентного соотношения:
Многочлены Чебышева являются решениями уравнения Пелля:
в кольце многочленов с вещественными коэффициентами и удовлетворяют тождеству:
Из последнего тождества также следуют явные формулы:
Многочлены Чебышева первого рода могут быть также определены с помощью равенства:
или, что почти эквивалентно,
Многочлены Чебышева второго рода могут быть также определены с помощью равенства:
Несколько первых многочленов Чебышева первого рода
Несколько первых многочленов Чебышева второго рода
Многочлены Чебышева обладают следующими свойствами:
Многочлены Чебышева применяются для расчета антенной решётки. Мощность излучения каждой антенны рассчитывается при помощи многочленов Чебышева. Это позволяет управлять формой диаграммы направленности, а точнее соотношением амплитуды основного и боковых лепестков.
Многочлен Чебышёва.