В математике последовательностью ортогональных многочленов называют бесконечную последовательность действительных многочленов
где каждый многочлен имеет степень , а также любые два различных многочлена этой последовательности ортогональны друг другу в смысле некоторого скалярного произведения, заданного в пространстве .
Понятие ортогональных многочленов было введено в конце XIX в. в работах Чебышёва П. Л. по непрерывным дробям и позднее развито Марковым А. А. и Стилтьесом Т. И. и нашло различные применения во многих областях математики и физики.
Пусть — промежуток на вещественной оси (конечный или бесконечный). Этот промежуток называется интервалом ортогональности. Пусть
заданная непрерывная, строго положительная внутри промежутка функция. Такая функция называется весовой или просто весом. Функция связана с пространством функций , для которых сходится интеграл
В полученном пространстве можно ввести скалярное произведение по формуле
Если скалярное произведение двух функций равно нулю , то такие функции называются ортогональными с весом . Как правило, среди ортогональных полиномов рассматриваются только вещественных функции.
Систему многочленов
называют ортогональной, если
Ортогональный базис называется ортонормированным, если все его элементы имеют единичную норму . Некоторые классические многочлены, представленные ниже, могут быть нормированы по какому-либо другому правилу. Для таких многочленов значения отличаются от единицы и указаны в таблице внизу.
Любые ортогональные полиномы удовлетворяют следующей рекуррентной формуле, связывающей три последовательных многочлена из системы:
где
Эта формула остаётся справедливой и для , если положить .
Докажем, что для любого n существуют такие коэффициенты a, b и c, что выполняется последнее рекуррентное соотношение.
,
или при
Все корни многочлена являются простыми, вещественными и все расположены внутри интервала ортогональности .
Предположим, что внутри интервала ортогональности меняет знак лишь в точках. Тогда существует многочлен степени такой, что . С другой стороны, многочлен можно представить в виде линейной комбинации многочленов , а значит ортогонален , то есть . Полученное противоречие и доказывает наше утверждение.
Между двумя последовательными корнями многочлена расположен в точности один корень многочлена и по крайней мере один корень многочлена , при .
Каждый многочлен в ортогональной последовательности имеет минимальную норму среди всех многочленов такой же степени и с таким же первым коэффициентом.
Для данного n любой многочлен p(x) степени n с таким же первым коэффициентом может быть представлен как
Используя ортогональность, квадратная норма p(x) удовлетворяет
Так как нормы являются положительными, необходимо взять квадратные корни обеих сторон и получится результат.
Система ортогональных многочленов является полной. Это значит, что любой многочлен степени n может быть представлен в виде ряда
где коэффициенты разложения.
Доказывается с помощью математической индукции. Выберем так, чтобы был многочленом степени n-1. Далее по индукции.
Очень важный класс ортогональных многочленов возникает при решении дифференциального уравнения следующего вида:
где и заданные многочлены второго и первого порядка, соответственно, а и неизвестные функция и коэффициент. Это уравнение называется задачей Штурма — Лиувилля и может быть переписано в его более стандартной форме
где Решение этого уравнения приводит к множеству собственных чисел и множеству собственных функций , обладающих следующими свойствами:
Дифференциальное уравнение имеет нетривиальные решения только при выполнения одного из следующих условий. Во всех этих случаях при изменении масштаба или/и сдвига области определения и выбора способа нормировки многочлены решения сводятся к ограниченному набору классов, которые называются классическими ортогональными полиномами
Обозначим как m-ую производную полинома . Производная является полиномом степени и обладает следующими свойствами:
Классические ортогональные полиномы, который происходят из дифференциального уравнения описанного выше, имеют много важных приложений в таких областях как: математическая физика, численные методы, и многие другие. Ниже приводятся их определения и основные свойства.
Многочлены Якоби обозначаются , где параметры и вещественные числа больше −1. Если и не равны, полиномы перестают быть симметричными относительно точки .
Многочлены Гегенбауэра обозначаются , где параметр вещественное число больше −1/2. Он выводится из многочленов Якоби для равных параметров и
Остальные Якобиподобные многочлены являются частным случаем полиномов Гегенбауэра с выбранным параметром и соответствующей нормализацией.
Многочлены Лежандра обозначаются и являются частным случаем многочленов Гегенбауэра с параметром
Многочлен Чебышева часто используется для аппроксимации функций как многочлен степени , который меньше всего отклоняется от нуля на интервале
Является частным случаем нормированного многочлена Гегенбауэра для параметра
Многочлен Чебышева второго рода характеризуются как многочлен, интеграл от абсолютной величины которого на интервале меньше всего отклоняется от нуля
Ассоциированные или обобщённые многочлены Лягерра обозначаются , где параметр вещественное число больше -1. Для обобщённые многочлены сводятся к обычным многочленам Лягерра
Система ортогональных многочленов может быть построена путём применения процесса Грама-Шмидта к системе многочленов следующим образом. Определим проектор как
тогда ортогональные полиномы последовательно вычисляются по схеме
Данный алгоритм относится к численно неустойчивым алгоритмам. При вычислении коэффициентов разложения ошибки округления и погрешности численного интегрирования накапливаются с увеличением номера полинома.
Весовая функция , заданная на промежутке , однозначно определяет систему ортогональных многочленов с точностью до постоянного множителя. Обозначим через числа
моменты весовой функции, тогда многочлен может быть представлен в виде:
Сложность вычисления ортогональных полиномов определяется сложностью вычисления определителя матрицы. Существующие алгоритмические реализации вычисления требуют минимум операций.
Докажем, что заданный таким образом многочлен ортогонален всем многочленам степени меньше n. Рассмотрим скалярное произведение на для .
Поскольку матрица имеет две совпадающие строки для .
Если выбрать нормировку многочлена таким образом, что коэффициент при главное члене равен единицы, рекуррентное соотношение может быть переписано в следующем виде:
где
Ортогональные полиномы применяются для построения точных квадратурных формул
где и являются узлами и весами квадратурной формулы. Квадратурная формула является точной для всех полиномов до степени включительно. При этом узлы есть корни n-го полинома из последовательности полиномов , ортогональных с весовой функцией . Веса вычисляются из формулы Кристоффеля-Дарбу.
Так же многочлены Чебышева первого и второго типа часто используется для аппроксимации функций.
Ортогональные многочлены 7 класс, ортогональные многочлены примеры.
Категория:Балетмейстеры СССР, Суон-Ривер (колония), Файл:20100913 Ancient Theater Marwneia Rhodope Greece panoramic 1.jpg, Кевин Костнер.