Многочлены Эрмита — определённого вида последовательность многочленов одной вещественной переменной. Многочлены Эрмита возникают в теории вероятностей, в комбинаторике, физике.
Эти многочлены названы в честь Шарля Эрмита.
Содержание |
В теории вероятностей полиномы Эрмита обычно определяются выражением:
в физике обычно используется другое определение:
Два определения, приведённые выше, не являются в точности эквивалентными друг другу; каждое из них является «отмасштабированной» версией другого
Явные выражения для первых одиннадцати (n = 0,1,…,10) многочленов Эрмита приведены ниже (вероятностное определение):
Аналогичным образом определяются первые одиннадцать (n = 0,1,…,10) многочленов Эрмита в физическом определении:
Общее уравнение для многочленов Эрмита имеет вид:
Многочлен содержит члены только той же чётности, что и само число :
.
При верны такие соотношения:
.
Уравнение имеет действительных корней, что есть попарно симметричным относительно начала системы координат и модуль каждого из них не превосходит величины . Корни многочлена чередуются с корнями многочлена .
Многочлен можно представить в виде определителя матрицы :
Имеет место следующая формула сложения многочленов Эрмита:
Легко видеть, что следующие формулы являются её частными случаями:
Производная -ого порядка от многочлена Эрмита , также есть многочлен Эрмита:
Отсюда получается соотношение для первой производной
и рекуррентное соотношение между тремя последовательными многочленами:
Для физического определения рекуррентное соотношение между тремя последовательными многочленами:
Многочлен Эрмита создает полную ортогональную систему на интервале с весом :
где — дельта-символ Кронекера.
Важным следствием ортогональности многочленов Эрмита есть возможность разложения разных функций в ряды по многочленам Эрмита. Для любого неотрицательного целого справедлива запись
Из этого выплывает связь между коэффициентами разложения функции в ряд Маклорена и коэффициентами разложения этой же функции за многочленами Эрмита, ,которые называются отношениями Нильса Нильсона:
Например, более, чем очевидно, что разложение функции Куммера будет иметь такой вид:
где —обобщённая гипергеометрическая функция второго порядка, — гамма-функция.
Разложение функций, в которых присутствует экспонента.
Для любой функции, которая записывается как суперпозиция экспонент можно записать следующее разложение по многочленам Эрмита:
Разложения известных гиперболических и тригонометрических функций имеют вид
Многочлены Эрмита являются решениями линейного дифференциального уравнения:
Если является целым числом, то общее решение выше приведённого уравнения записывается как
,
где — произвольные постоянные, а функции называются функциями Эрмита второго рода. Эти функции не приводятся к многочленам и их можно выразить только с помощью трансцендентных функций и .
Многочлены Эрмита предполагают такие представления:
где — контур, который охватывает начало координат.
Другое представление имеет вид:
.
Интерполяционный полином эрмита онлайн, полином эрмита реферат, полином эрмита программа.
Категория:Тихоокеанское высшее военно-морское училище имени С. О. Макарова, Шпонхольц, Онкилоны.