Полная решётка — частично упорядоченное множество, в котором всякое непустое подмножество имеет точную верхнюю и нижнюю грань, называемые обычно объединением и пересечением элементов подмножества и обозначаемые и (или просто и ) соответственно. Относительно операций объединения и пересечения полная решётка является решёткой.
Свойства
- Решётка тогда и только тогда является полной, когда для любого изотонного отображения этой решётки в себя существует неподвижная точка, то есть такой элемент , что .
- Всякое частично упорядоченное множество P можно изоморфно вложить в полную решётку, которая в этом случае называется пополнением множества множества . Пополнение сечениями является наименьшим из всех пополнений данного частично упорядоченного множества.
Примеры
- множество всех подалгебр универсальной алгебры;
- множество всех конгруэнций универсальной алгебры;
- множество всех замкнутых подмножеств топологического пространства.
- Если частично упорядоченное множество имеет наибольший элемент и каждое его непустое подмножество обладает точной нижней гранью, то оно является полной решёткой.
- Если — упорядоченное включением множество подмножеств множества и — отношение замыкания на , то совокупность всех -замкнутых подмножеств является полной решёткой.
Литература
- Биркгоф Г. Теория структур. — пер. с англ., М., 1952.
- Скорняков Л. А. Элементы теории структур. — М., 1970.
- Математическая энциклопедия
См. также