Полярная система координат — система координат, ставящая в соответствие каждой точке на плоскости пару чисел . Основными понятиями этой системы являются точка начала координат (полюс) и фиксированный луч, начинающийся в этой точке (полярная ось).

• Координата — расстояние от данной точки до полюса. В ряде источников обозначается буквой .
• Координата  — угол между полярной осью и отрезком, соединяющим полюс и рассматриваемую точку. Координата берётся со знаком «+», если угол от оси до отрезка вычисляется против часовой стрелки, и со знаком «-» в противоположном случае. Для полюса , угол не определён. Иногда допускаются отрицательные значения , в этом случае координаты и определяют одну и ту же точку плоскости.

Любая точка в этой системе имеет бесконечное число координат вида , которым соответствует одна и та же точка при любых целых .

Полярная система координат широко используется как в математике, так и в других областях науки и техники. Например, она применяется в радиолокации (где для полярных координат используются термины дальность и пеленг), в геодезии (азимут) и др.

Примеры использования

• Уравнение прямой: ,

где  — расстояние от прямой до полюса,  — угол между полярной осью и перпендикуляром, опущенным из полюса на прямую.

• Уравнение окружности радиуса с центром в полюсе: .

• Уравнение окружности радиуса , проходящей через полюс:
• Уравнение эллипса с фокусом в полюсе: .

• Уравнения розы с радиусом : и . Если  — нечетное число, то роза имеет лепестков; если  — четное число, то роза имеет лепестков.

• Уравнение декартового листа:

Связь полярных координат с декартовыми (формулы перехода)

• от полярной системы координат к декартовой:

• от декартовой системы координат к полярной:

Свойства

• Обозначим область интегрирования между кривой и лучами , , где . Тогда площадь записывается в виде определённого интеграла

• Элемент площади в полярной системе координат имеет вид
  • В частности, для произвольной функции , имеет место формула

Литература

• Гельфанд И. М., Глаголева Е. Г., Кириллов А. А. Метод координат. Издание пятое, стереотипное. Серия: Библиотечка физико-математической школы. Математика. Выпуск 1. М.: Наука, 1973, стр. 47-50.