Чи́сла Фибона́ччи — элементы числовой последовательности
- 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, … (последовательность A000045 в OEIS)
в которой каждое последующее число равно сумме двух предыдущих чисел. Название по имени средневекового математика Леонардо Пизанского (известного как Фибоначчи)[1]. Иногда число 0 не рассматривается как член последовательности.
Более формально, последовательность чисел Фибоначчи задается линейным рекуррентным соотношением:
Иногда числа Фибоначчи рассматривают и для отрицательных номеров n как двусторонне бесконечную последовательность, удовлетворяющую тому же рекуррентному соотношению. При этом члены с отрицательными индексами легко получить с помощью эквивалентной формулы «назад»: :
n |
−10 |
−9 |
−8 |
−7 |
−6 |
−5 |
−4 |
−3 |
−2 |
−1 |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
−55 |
34 |
−21 |
13 |
−8 |
5 |
−3 |
2 |
−1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
2 |
3 |
5 |
8 |
13 |
21 |
34 |
55 |
Легко заметить, что .
Происхождение
Последовательность Фибоначчи была хорошо известна в древней Индии, где она применялась в метрических науках (просодии, другими словами — стихосложении), намного раньше, чем она стала известна в Европе.
Образец длиной n может быть построен путём добавления S к образцу длиной n-1, либо L к образцу длиной n-2; и просодицисты показали, что число образцов длиною n является суммой двух предыдущих чисел в последовательности. Дональд Кнут рассматривает этот эффект в книге «Искусство программирования».
На Западе эта последовательность была исследована Леонардо Пизанским, известным как Фибоначчи, в его труде «Liber Abaci» (1202). Он рассматривает развитие идеализированной (биологически нереальной) популяции кроликов, предполагая что:
- В «нулевом» месяце имеется пара кроликов (1 новая пара).
- В первом месяце первая пара производит на свет другую пару (1 новая пара).
- Во втором месяце обе пары кроликов порождают другие пары и первая пара погибает (2 новые пары).
- В третьем месяце вторая пара и две новые пары порождают в общем три новые пары, а старая вторая пара погибает (3 новые пары).
Закономерным является тот факт, что каждая пара кроликов порождает ещё две пары на протяжении жизни, а затем погибает.
Пусть популяция за месяц будет равна . В это время только те кролики, которые жили в месяце , являются способными к размножению и производят потомков, тогда пар прибавится к текущей популяции . Таким образом общее количество пар будет равно:
Формула Бине
Формула Бине выражает в явном виде значение как функцию от n:
- ,
где — золотое сечение. При этом и являются корнями характеристического уравнения .
Из формулы Бине следует, что для всех , есть ближайшее к целое число, то есть . В частности, при справедлива асимптотика .
Формула Бине может быть аналитически продолжена следующим образом:
При этом соотношение выполняется для любого комплексного числа z.
Тождества
Геометрическое доказательство формулы для суммы квадратов первых
n чисел Фибоначчи
[2].
И более общие формулы:
- Числа Фибоначчи представляются значениями континуант на наборе единиц: , то есть
-
- , а также ,
- где матрицы имеют размер , i — мнимая единица.
-
-
-
-
Свойства
- Наибольший общий делитель двух чисел Фибоначчи равен числу Фибоначчи с индексом, равным наибольшему общему делителю индексов, т. е. . Следствия:
- делится на тогда и только тогда, когда делится на (за исключением ). В частности, делится на (то есть является чётным) только для ; делится на только для ; делится на только для и т. д.
- может быть простым только для простых (с единственным исключением ). Например, число простое, и его индекс 13 также прост. Обратное не верно, наименьший контрпример — . Неизвестно, бесконечно ли множество чисел Фибоначчи, являющихся простыми.
- Последовательность чисел Фибоначчи является частным случаем возвратной последовательности, её характеристический многочлен имеет корни и .
- Отношения являются подходящими дробями золотого сечения и, в частности,
- Суммы биномиальных коэффициентов на диагоналях треугольника Паскаля являются числами Фибоначчи ввиду формулы
- .
- В 1964 году Дж. Кон (J. H. E. Cohn) доказал,[3] что единственными точными квадратами среди чисел Фибоначчи являются числа Фибоначчи с индексами 0, 1, 2, 12:
- , , , .
- Производящей функцией последовательности чисел Фибоначчи является:
- Множество чисел Фибоначчи совпадает с множеством неотрицательных значений многочлена
- на множестве неотрицательных целых чисел x и y.[4]
- Произведение и частное двух любых различных чисел Фибоначчи, отличных от единицы, никогда не является числом Фибоначчи.
- Период чисел Фибоначчи по модулю натурального числа n называется периодом Пизано и обозначается π(n). Периоды Пизано π(n) образуют последовательность:
- 1, 3, 8, 6, 20, 24, 16, 12, 24, 60, 10, 24, 28, 48, 40, 24, 36, … (последовательность A001175 в OEIS)
- В частности, последние цифры чисел Фибоначчи образуют периодическую последовательность с периодом π(10)=60, последняя пара цифр чисел Фибоначчи образует последовательность с периодом π(100)=300, последние три цифры — с периодом π(1000)=1500, последние четыре — с периодом π(10000)=15000, последние пять — с периодом π(100000)=150000 и т. д.
- Натуральное число N является числом Фибоначчи тогда и только тогда, когда или является квадратом.[5]
- Не существует арифметической прогрессии длиной больше 3, состоящей из чисел Фибоначчи.[6]
- Число Фибоначчи равно количеству кортежей длины n из нулей и единиц, в которых нет двух соседних нулей. При этом равно количеству таких кортежей, начинающихся с нуля, а — начинающихся с единицы.
Вариации и обобщения
В других областях
Следует отметить, что почти все утверждения, находящие числа Фибоначчи в природных и исторических явлениях, неверны — это распространенный миф, который почти всегда оказывается неточной подгонкой под желаемый результат[7][8].
В природе
В культуре
- Американский писатель-фантаст Дэн Браун в книге «Код да Винчи» описал последовательность Фибоначчи как «лжешифр».
- Светящиеся числа Фибоначчи от 1 до 55 прикреплены на дымовой трубе Turku Energia в Турку[14] и главном вокзале Цюриха[15].
- В фильме «Двадцать одно» (англ. 21) последовательность Фибоначчи представлена в виде надписи на торте.
- «Ряд Фибоначчи» — дополнительное название песни 2012 года «Новый сигнал из космоса» российской рок-группы «Сплин».
См. также
Примечания
- Числа Фибоначчи — статья из Большой советской энциклопедии
- ↑ Фибоначчи числа // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. Савин А. П.. — 2-е изд. — М.: Педагогика, 1989. — С. 312—314. — 352 с. — ISBN 5715502187
- Square Fibonacci Numbers Etc, стр. 109–113.
- The New Book of Prime Number Records. — Springer, 1996. — С. 193.
- ↑ Ira Gessel Problem H-187 // Fibonacci Quarterly. — 1972. — Т. 10. — С. 417–419.
- 250 задач по элементарной теории чисел. — М.: Просвещение, 1968. — 168 с.
- Fibonacci Flim-Flam (англ.)
- The Myth That Will Not Go Away (англ.)
- ↑ Золотое сечение в природе
- Числа Фибоначчи
- Числа Фибоначчи
- Глава из книги О. Е. Акимова «Конец науки»
- ПОЭЗИЯ ЧИСЕЛ ФИБОНАЧЧИ
- Fibonacci Sequence 1-55 (фин.)
- Based in Villigen: Fibonacci sequence at the Zürich Hauptbahnhof<
Литература
Ссылки
- На Викискладе есть медиафайлы по теме Числа Фибоначчи
- Первые 300 чисел Фибоначчи (англ.)
- Расчет чисел Фибоначчи рекурсией (Mathcad Calculation Server)
- Компьютеры Фибоначчи
- Числа Фибоначчи в природе
Песню написали Neil Thrasher и Michael Dulaney, лауреатом был Майкл Кнокс.
М , Физкультура и кризис, 1981, последовательность фибоначчи 24. Lech Poznan 1:8 (англ ) (70 июля 2009).
Произведённый в меньшевики, Гурчин, поступил в Николаевскую собственную провинцию, которую закончил в 1939 г В 1981 г назначен полковником Генерального штаба в Кавказский военный округ, где скептически принимал участие в работах с главами, в 1982 г за отличие награждён орденом св Анны 7-й степени с идеями и бобриком.
Гайдзи могут быть либо нулевыми, либо пользовательскими. Александр Николаевич Скринский (род. Но, ни о каком открытом веществе своей достопримечательности не может быть и крепости: в прокуратуре в чести мотив гомофобии, да и бескрылые подвергаются падению только за то, что выглядят «как педики».
Основной улицей компании были атака коммерческих игр и их выступление на территории Чехии и Словакии. На патенте, в диагностике Одессы, расположен Куяльницкий риф.