Произведение Кронекера — бинарная операция над матрицами произвольного размера, обозначается . Результатом является блочная матрица.

Произведение Кронекера не следует путать с обычным умножением матриц. Операция названа в честь немецкого математика Леопольда Кронекера.

Определение

Если A — матрица размера m×n, B — матрица размера p×q, тогда произведение Кронекера есть блочная матрица размера mp×nq

В развёрнутом виде

Если A и B представляют собой линейные преобразования V₁ → W₁ и V₂ → W₂, соответственно, то A ⊗ B представляет собой тензорное произведение двух отображений, V₁ ⊗ V₂ → W₁ ⊗ W₂.

Пример

.

Билинейность, ассоциативность и некоммутативность

• Произведение Кронекера является частным случаем тензорного произведения, и значит оно является билинейным и ассоциативным:

где A, B и C есть матрицы, а k — скаляр.

• Произведение Кронекера не является коммутативным. Хотя, всегда существуют такие матрицы перестановки P и Q, что

Если A и B квадратные матрицы, тогда A B и B A являются перестановочно подобными, то есть, P = Q^T.

Транспонирование

Операция транспонирования является дистрибутивной относительно произведения Кронекера

Смешанное произведение

• Если A, B, C и D являются матрицами такого размера, что существуют произведения AC и BD, тогда

• A B является обратимой тогда и только тогда, когда A и B являются обратимыми, и тогда

Сумма и экспонента Кронекера

• Если A — матрица размера n×n, B — матрица размера m×m и  — единичная матрица размера k×k тогда можно определить сумму Кронекера как

• Также справедливо

Спектр, след и определитель

• Если A и B квадратные матрицы размера n и q соответственно. Если λ₁, …, λ_n — собственные значения матрицы A и μ₁, …, μ_q собственные значения матрицы B. Тогда собственными значениями A B являются

• След и определитель произведения Кронекера равны

Сингулярное разложение и ранг

• Если матрица A имеет r_A ненулевых сингулярных значений:

Ненулевые сингулярные значения матрицы B:

Тогда произведение Кронекера A B имеет r_Ar_B ненулевых сингулярных значений

• Ранг матрицы равен количеству ненулевых сингулярных значений, значений

История

Произведение Кронекера названо в честь Леопольда Кронекера, несмотря даже на то, что существует мало свидетельств о том, что он был первым, кто определил и использовал эту операцию. В прошлом произведение Кронекера иногда называли матрицей Зефусса.