Прямая сумма — производный математический объект, создаваемый по определённым ниже правилам из базовых объектов. В качестве базовых чаще всего выступают векторные пространства или абелевы группы. Существует также обобщение данной конструкции для банаховых и гильбертовых пространств.
Содержание |
Говорят, что линейное пространство есть прямая сумма своих подпространств :
если каждый вектор представляется в виде суммы
и притом единственным образом.
Последнее условие («единственным образом») весьма существенно, без него получается просто определение суммы подпространств (обозначается ). Из определения линейного пространства следует, что условие единственности разложения (*) для каждого вектора равносильно условию единственности разложения (*) только для нулевого вектора (для в сумме (*) все слагаемые ).
Понятие прямой суммы распространяется на случай, когда изначально не являются подпространствами какого-либо одного объемлющего линейного пространства.
Определим как декартово произведение и определим в нём операции линейного пространства с помощью формул
Тогда является линейным пространством, содержащим подпространства Согласно построению, каждый вектор однозначно представим в виде следовательно,
Говорят, что абелева группа есть прямая сумма своих подгрупп :
если каждый элемент представляется в виде суммы
и притом единственным образом. Условие единственности разложения (*) для каждого элемента равносильно условию единственности разложения (*) только для нулевого элемента .
Пусть — абелевы группы (с операцией ). Определим множество как декартово произведение и определим в нём групповую операцию с помощью формулы
Тогда является абелевой группой, содержащей подгруппы Это обозначается: Согласно построению, каждый элемент однозначно представим в виде (*). Противоположным (обратным) элементом к является элемент Нейтральным (нулевым) элементом группы является элемент где — нейтральный элемент группы
Если группы конечные, то группа тоже конечная, и её порядок (число элементов) равно произведению порядков групп .
Прямая сумма.