Конечная группа — алгебраическая группа, содержащая конечное число элементов (это число называется её порядком). Далее группа предполагается мультипликативной, то есть операция в ней обозначается как умножение; аддитивные группы с операцией сложения оговариваются особо. Единицу мультипликативной группы будем обозначать символом 1.

Несмотря на относительную простоту конечных групп, их полной теории создать не удалось. Лучше всего исследованы группы, порядок которых — простое число или степень простого числа (простые, или p-группы), проведена их полная классификация.

Конечные группы широко используются как в математике, так и в других науках: топология, криптография, кристаллография, атомная физика, теория орнаментов и др. Они тесно связаны с симметрией исследуемых объектов.

Примеры

• Аддитивная группа классов вычетов по модулю n.
• Мультипликативная группа корней n-й степени из единицы, изоморфная предыдущей группе.
• Приведённая система вычетов по модулю m, порядок которой равен (функция Эйлера).
• Некоммутативная группа из 8 кватернионных единиц: .
• Симметрическая группа (группа подстановок) , её порядок равен и при она некоммутативна.
• Четверная группа Клейна.

Свойства и связанные определения

Порядок элемента g конечной группы G — минимальное натуральное число m такое, что . Порядок определён для каждого элемента конечной группы; порядок единичного элемента считается равным нулю.

Теорема Лагранжа: порядок любой подгруппы конечной группы является делителем порядка группы.

• Следствие 1: порядок любого элемента конечной группы — делитель порядок группы.
• Следствие 2: любой элемент g конечной группы порядка n удовлетворяет соотношению:

Пример для приведённой системы вычетов: теорема Эйлера в теории чисел.

Частное от деления порядка группы на порядок подгруппы называется индексом этой подгруппы и обозначается . Например, в вышеприведенной группе кватернионных единиц (порядка 8) есть подгруппа порядка 2 и индекса 4, а также подгруппа порядка 4 и индекса 2.

Смежные классы и фактор-группа

Пусть H — подгруппа порядка m в конечной группе G порядка n. Будем считать элементы эквивалентными по подгруппе H, если существует такое, что Легко проверить, что это отношение эквивалентности в группе G. Оно разбивает группу на непересекающиеся классы эквивалентности, называемыми (левыми) смежными классами, все они содержат по m элементов, число классов равно индексу подгруппы. Каждый элемент входит в смежный класс , образованный всевозможными произведениями g на элементы подгруппы H.

Если подгруппа H является нормальным делителем, то можно перенести групповую операцию на множество смежных классов, определив:

Результат такой операции не зависит от выбора представителей и превращает множество смежных классов в группу, называемую фактор-группой. Она обозначается . Порядок фактор-группы равен индексу соответствующей подгруппы.

Классификация

Конечные циклические группы

Наиболее простую структуру имеют конечные циклические группы, все элементы которых можно представить как последовательные степени некоторого фиксированного элемента

(n — порядок группы).

Элемент a называется образующим (или первообразным) для данной группы. Количество образующих элементов для группы порядка n равно (функция Эйлера). Пример: группа корней из единицы.

Циклические группы всегда коммутативны (абелевы). Другие свойства:

• Любая конечная циклическая группа порядка n изоморфна аддитивной группе классов вычетов . Отсюда вытекает, что, с точностью до изоморфизма, существует только одна конечная циклическая группа данного порядка.
• Группа порядка n является циклической тогда и только тогда, когда в ней существует элемент того же порядка n.
• Циклическая группа имеет нетривиальные подгруппы тогда и только тогда, когда её порядок является составным числом.
• Любая подгруппа циклической группы тоже циклична. Циклической будет и всякая фактор-группа циклической группы G/H.
• Не всякая коммутативная конечная группа является циклической. Простейший контрпример: четверная группа Клейна.

Группы с простым порядком (p-группы)

Пусть порядок группы — простое число p, тогда имеют место следующие свойства.

• Группа является циклической.
• Группа коммутативна (абелева) и нильпотентна.
• Все группы одного и того же порядка p изоморфны друг другу.

Более общим и более сложным является случай, когда порядок группы — степень простого числа; такие группы принято называть p-группами. См. их общую классификацию.

Коммутативные (абелевы) группы

Основная теорема (Фробениус): всякая коммутативная конечная группа может быть представлена как прямая сумма p-групп. Это следствие общей теоремы о структуре конечнопорождённых абелевых групп для случая, когда группа не имеет элементов бесконечного порядка.

Количество различных групп заданного порядка

Большой практический интерес представляет задача определить, сколько различных групп имеет заданный порядок n (изоморфные группы не различаются) и сколько из этих групп коммутативны.

См. также

• Бесконечная группа
• Действие группы
• Классификация простых конечных групп
• Конечно определённая группа
• Локально конечная группа
• Представление группы
• Теоремы Силова

Литература

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7
• Горенстейн Д. Конечные простые группы. Введение в их классификацию. — Мир, 1985.
• Конечная группа // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 2.
• Холл М. Теория групп. М.: Издательство иностранной литературы, 1962.

Ссылки

• Finite Group на Wolfram Math World.  (англ.)

Примечания