Разложе́ние ма́трицы — представление матрицы в виде произведения матриц, обладающих некоторыми определёнными свойствами, например, ортогональностью, симметричностью, диагональностью — и потому облегчающих рассмотрение свойств линейного оператора с матрицей .

Классификация

• LU-разложение — представление матрицы в виде , где  — нижнетреугольная, а  — верхнетреугольная матрица. Не все матрицы могут быть представлены в таком виде.
• LUP-разложение — представление матрицы в виде , где  — перестановочная, а и  — треугольные. Это обобщение LU-разложения на случай произвольных матриц.
• QR-разложение — представление матрицы в виде , где  — ортогональная (или, в общем случае, унитарная), а  — верхнетреугольная. Существуют также его варианты: RQ-, QL- и LQ-разложения.
• Разложение Холецкого — представление квадратной, положительно-определённой матрицы в виде , где  — верхнетреугольная.
• Спектральное разложение — представление квадратной матрицы в виде , где — ортогональная матрица, столбцы которой — это собственные вектора матрицы , а — диагональная матрица с собственными значениями на диагонали. Не все матрицы могут быть представлены в таком виде, а только те, которые обладают полным набором собственных векторов.
• Полярное разложение — представление произвольной матрицы в виде произведения ортогональной и симметричной положительно-полуопределённой матрицы.
• Сингулярное разложение — представление произвольной матрицы в виде произведения ортогональной, диагональной с сингулярными числами на диагонали, и ортогональной матриц.

Количественное рассмотрение

^[1]

Полярное разложение

Полярное разложение — разложение произвольной матрицы в произведение ортогональной и симметричной с неотрицательными собственными значениями матриц.

Так как , то матрица симметричная. Существует^[2] базис, который можно обозначить через , состоящий из ортонормированных векторов матрицы , расположенных в порядке убывания собственных значений.

Так как , то для любых векторов и базиса выполняется . Значит, образ базиса относительно преобразования ортогональный (сохраняются углы между векторами базиса, но не их длины). При проведении преобразования векторы базиса преобразуются в векторы .

Сингулярные числа матрицы  — квадратные корни из собственных значений матрицы .

Отсюда очевидно, что . Так как в рассматриваемом базисе векторы расположены в порядке убывания собственных значений, то существует такое число , что .

Пусть  — система векторов при , дополненная до ортонормированного базиса произвольным образом. Пусть  — матрица перехода из базиса в базис . Так как оба базиса ортонормированные, то матрица ортогональная. Так как , то существует ортонормированный базис из собственных векторов матрицы . Это значит, что матрица в базисе имеет диагональный вид, а потому в произвольном ортонормированном базисе симметрична.

Итак, , где матрица ортогональная, а матрица симметричная.

Сингулярное разложение

Сингулярное разложение — разложение произвольной матрицы в произведение ортогональной, диагональной с сингулярными числами на диагонали, и ортогональной матриц.

Имеется полярное разложение A=QS, где Q ортогональна и S симметрична. Можно обозначить через матрицу перехода в базис, в котором симметричная матрица имеет диагональный вид ; тогда , и ; соответственно ; матрица ортогональна как произведение ортогональных. Матрица , действительно, имеет сингулярные числа данного преобразования на диагонали (см. доказательство полярного разложения); обозначая , , получаем , где и ортогональны, диагональна с сингулярными числами на диагонали.

Источники