Теоре́ма си́нусов — теорема, устанавливающая зависимость между сторонами треугольника и противолежащими им углами. Теорема утверждает, что стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов, или, в расширенной формулировке:
|
Для произвольного треугольника где , , — стороны треугольника, — соответственно противолежащие им углы, а — радиус окружности, описанной вокруг треугольника. |
Достаточно доказать, что
Проведем диаметр для описанной окружности. По свойству углов, вписанных в окружность, угол прямой, а угол равен либо , если точки и лежат по одну сторону от прямой , либо в противном случае. Поскольку , в обоих случаях получаем
Повторив то же рассуждение для двух других сторон треугольника, получаем:
Содержание |
Самое древнее доказательство для теоремы синусов на плоскости описано в книге Насир ад-Дин Ат-Туси «Трактат о полном четырёхстороннике» написанной в XIII веке[1]. Теорема синусов для сферического треугольника была доказана математиками средневекового Востока ещё в X веке[2]. В труде Ал-Джайяни XI века «Книга о неизвестных дугах сферы» приводилось общее доказательство теоремы синусов на сфере[3].
Теорема синусов.
