Факториа́льное кольцо́ — область целостности R, в которой каждый ненулевой элемент a является единицей кольца, либо представляется в виде произведения неприводимых элементов a=p₁…p_n (n≥1), причем данное разложение единственно в том смысле, что если p₁…p_n=q₁…q_m, то m=n и после перенумерования имеем p_i=u_iq_i для всех i, где u_i — единица кольца R (такие элементы называются ассоциированными). Сами элементы p_i могут быть тоже ассоциированными и даже равными. Факториальные кольца часто называются гауссовыми в честь Гаусса.

Всякий неприводимый элемент факториального кольца является простым.

Если R факториально, то и кольцо многочленов R[x] факториально, отсюда следует, что и кольцо R[x₁…x_n] факториально.

Любое кольцо главных идеалов факториально.

Литература

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра — М.: Наука, 1975.
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.1 — М.: ИЛ, 1963.
• Ленг С. Алгебра — М.: Мир, 1967.