Де́льта-фу́нкция (или δ-функция, δ-функция Дирака, дираковская дельта, единичная импульсная функция) позволяет записать пространственную плотность физической величины (масса, заряд, интенсивность источника тепла, сила и т. п.), сосредоточенной или приложенной в одной точке.
Например, плотность единичной точечной массы m, находящейся в точке a евклидова пространства записывается с помощью -функции в виде Дельта-функция также применима для описания распределений заряда, массы и т. п. на поверхностях или линиях.
-Функция является обобщённой функцией: формально она определяется как непрерывный линейный функционал на пространстве дифференцируемых функций.
-Функция не является функцией в классическом смысле; тем не менее, нетрудно указать последовательности обычных классических функций, слабо сходящиеся к -функции.
Можно различать одномерную и многомерные дельта-функции, однако последние могут быть представлены в виде произведения одномерных функций в количестве, равном размерности пространства, на котором определена многомерная функция.
Введена английским физиком Полем Дираком.
Содержание |
Существуют различные взгляды на понятие дельта-функции. Получающиеся при этом объекты, вообще говоря, различны, однако обладают рядом общих характерных свойств. Все указанные ниже конструкции естественно обобщаются на случаи пространств большей размерности .
Дельта-функцию (функция Дирака) одной вещественной переменной можно представлять себе как «функцию» , для которой выполняются следующие равенства:
То есть эта функция не равна нулю только в точке x=0, где она обращается в бесконечность таким образом, чтобы её интеграл по любой окрестности x=0 был равен 1. В этом смысле понятие дельта-функции аналогично физическим понятиям точечной массы или точечного заряда. Аналогичные условия верны и для дельта-функций, определённых на
Эти равенства не принято считать определением дельта-функции, однако во многих учебниках по физике она определяется именно так, и этого достаточно для решения физических задач. Отметим, что помимо этого неявно предполагается равенство
(фильтрующее свойство) для любой функции f. Оно не следует даже формально из указанного выше тождества, так как, вообще говоря, значение этого интеграла также могло бы включать в себя производные от f. Именно это происходит с производными от дельта-функции, которые также почти всюду равны 0 и обращаются в бесконечность при x=0.
Дельта-функция определяется как линейный непрерывный функционал на некотором функциональном пространстве (пространстве основных функций). В зависимости от цели и желаемых свойств, это может быть пространство функций с компактным носителем, пространство функций, быстро убывающих на бесконечности, гладких функций на многообразии, аналитических функций и т. д. Для того, чтобы были определены производные дельта-функции с хорошими свойствами, во всех случаях основные функции берутся бесконечно дифференцируемыми, пространство основных функций также должно быть полным метрическим пространством. Общий подход к обобщённым функциям см. в соответствующей статье. Такие обобщённые функции также называют распределениями.
Мы рассмотрим самый простой вариант. В качестве пространства основных функций рассмотрим пространство всех бесконечно дифференцируемых функций на отрезке. Последовательность сходится к , если на любом компакте функции сходятся к равномерно вместе со всеми своими производными:
Это локально выпуклое метризуемое пространство. Дельта-функцию определим как функционал , такой что
Непрерывность означает, что если , то . Здесь — значение функционала на функции . Для удобства это записывают как
Заметим, что при таком подходе интегральная запись есть не больше, чем формальное обозначение, облегчающее восприятие формул.
Используемому для работы с дельта-функцией интегральному выражению можно придать смысл, близкий к интуитивному, в рамках теории алгебры обобщённых функций Коломбо[1].
Пусть — множество бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем, то есть не равных нулю лишь на ограниченном множестве. Рассмотрим множество функций
Обобщённая функция — это класс эквивалентности функций бесконечно дифференцируемых по x при каждом и удовлетворяющих некоторому условию умеренности (полагая и все её производные по x достаточно медленно растут при ). Две функции полагаются эквивалентными, если , где — ещё один класс функций с ограничениями на рост при
Дельта-функция определяется как Преимущество подхода Коломбо в том, что его обобщённые функции образуют коммутативную ассоциативную алгебру, при этом на множество обобщённых функций естественно продолжаются понятия интегрирования, дифференцирования, пределов, даже значения в точке. В этом смысле на дельта-функцию действительно можно смотреть как на функцию, равную 0 везде, кроме точки 0, и равную бесконечности в нуле, так как теория Коломбо включает в себя теорию бесконечно больших и бесконечно малых чисел, аналогично нестандартному анализу.
Аналогичная теория обобщённых функций была изложена в работе Ю. В. Егорова[2]. Хотя она не эквивалентна теории Коломбо, конструкция значительно проще и обладает большинством желаемых свойств.
Обобщённая функция — это класс эквивалентности последовательностей Последовательности и считаются эквивалентными, если для любого компакта функции последовательностей совпадают на начиная с некоторого номера:
Всевозможные операции над последовательностями (умножение, сложение, интегрирование, дифференцирование, композиция, …) определяются покомпонентно. Например, интеграл по множеству I определяется как класс эквивалентности последовательности
Две обобщённые функции слабо равны, если для любой бесконечно гладкой функции
При этом дельта-функция определяется любой дельта-образной последовательностью (см. ниже), все такие обобщённые функции слабо равны.
Пусть
Тогда последовательность
слабо сходится к -функции.
Часто в качестве выбирают
дающую последовательность
Если нужно, чтобы члены последовательности были всюду положительными функциями, можно исходить из Гауссова колокола:
Во многих приложениях оказывается удобным интегральное представление дельта-функции:
Рассмотрим интеграл
который можно интерпретировать как предел
где
Известно, что
В силу (3) для любого справедливо равенство:
Можно показать (см. выше), что при неограниченном росте N для функции (2) оказываются верными все свойства дельта-функции и она в некотором смысле стремится к
Фундаментальное выражение, описывающее производную дельта-функции :
(распространение на случай подынтегральных выражений, содержащих дельта-функцию, интегрирования по частям).
Аналогично для n-й производной дельта-функции:
А проинтегрировав так по частям n раз, получим в конце концов:
Подставив же в первую формулу и a=0, убедимся, что
Для производной дельта-функции также верны следующие тождества:
К дельта-функции можно применить преобразование Фурье:
В результате получается, что спектр (фурье-образ) -функции является просто константой:
То есть, как и было показано выше,
В n-мерном пространстве в декартовых координатах (ортонормированном базисе):
В двумерном пространстве:
В полярных координатах:
В трехмёрном пространстве:
В цилиндрической системе координат:
В сферической системе координат:
Вблизи заряжённой точки поле бесконечно, ряды Тейлора для поля не сходятся, поэтому вводят специальные функции. Одной из таких функций является дельта-функция. Вопрос о поле точечной заряженной частицы сравнительно сложен, поэтому рассмотрим сначала более простой пример.
Пусть частица, движущаяся вдоль прямой, при ударе пренебрежимо малой длительности скачком приобретают какую-то скорость. Зададимся вопросом: как рассчитать ускорение, приобретенное телом? Построим график зависимости изменения скорости от времени. График будет иметь следующий вид:
Данный график почти всюду является графиком функции Хевисайда. Производная функции Хевисайда является единичной дельта-функцией, график которой условно можно изобразить как
Данный график отображает бесконечное ускорение при мгновенном наборе скорости. В общем случае ускорение при ударе можно записать как
Если нужно найти суммарную массу (или заряд) некоторого непрерывного распределения плотности (или плотности заряда) содержащего, кроме того, точечные массы (заряды), то удобно вместо формулы, учитывающей отдельно дискретные массы и непрерывную конечную плотность:
записывать просто:
имея в виду, что имеет как непрерывную, так и дельтообразные (по одной для каждой точечной массы) составляющие:
Дельта-функция дирака ее основные свойства, дельта-функция в matlab.
Категория:Умершие в Минеральных Водах, Файл:Pickup on South Street Poster.jpg.