В абстрактной алгебре евклидово кольцо (эвклидово кольцо) — кольцо, в котором существует аналог алгоритма Евклида.
Определение
Евклидово кольцо — это область целостности R, для которой определена евклидова функция (евклидова норма) , причём , и возможно деление с остатком, по норме меньшим делителя, то есть для любых имеется представление , для которого .
Замечание
Часто на евклидову норму накладывают дополнительное ограничение: для любых a и ненулевых b из кольца R. Если на R задана норма, не удовлетворяющая этому условию, её можно поправить, переопределив:
Такая норма нужному неравенству удовлетворяет, однако прежний алгоритм деления с остатком уже не годится — его тоже надо поправлять. Пусть таков, что . Разделим с остатком ax на bx: , где и . Так как из определения , мы получили представление с , что и требовалось.
Тем не менее, преимуществ у такой нормы не так много — все обратимые элементы имеют одно и то же значение нормы, причём минимальное из всех (конечных), собственные делители элемента a имеют меньшее значение нормы, а также упрощается непосредственное доказательство факториальности евклидовых колец (без ссылки на факториальность колец главных идеалов, доказательство чего требует применения трансфинитной индукции). Основные же свойства евклидовых колец остаются в силе и без этого дополнительного свойства.
Примеры
- Кольцо целых чисел . Пример евклидовой функции — абсолютная величина .
- Кольцо целых гауссовых чисел (где i — мнимая единица, ) с нормой — евклидово.
- Произвольное поле является евклидовым кольцом с нормой, равной 1 для всех элементов, кроме 0.
- Кольцо многочленов в одной переменной над полем . Пример евклидовой функции — степень deg.
- Кольцо формальных степенных рядов над полем K является евклидовым кольцом. Норма степенного ряда — номер первого ненулевого коэффициента в нём (для нулевого ряда норма равна минус бесконечности).
- Более общо, всякое локальное кольцо является евклидовым, если в нём максимальный идеал является главным и пересечение всех его степеней состоит только из нуля. Норма обратимого элемента равна 0, необратимого ненулевого — равна максимальной степени максимального идеала, которая содержит данный элемент, а норма нуля — минус бесконечность.
- Кольцо функций H(K), голоморфных на связном компакте K в C (каждая из них должна быть голоморфна в какой-нибудь окрестности этого компакта; две такие функции считаются равными в H(K), если они совпадают в некоторой окрестности K), тоже евклидово. За норму ненулевой функции принимается число нулей (с учётом кратности), которые она принимает на K.
- Счётное пересечение евклидовых колец (подколец в каком-нибудь кольце) не обязано быть евклидовым кольцом (и даже нётеровым или факториальным). Например, кольцо функций H(D), голоморфных в открытом круге D, является пересечением евклидовых колец функций H(K), голоморфных на замкнутых кругах K, содержащихся внутри D (см. предыдущий пример), однако оно ни нётерово, ни факториально, соответственно, и неевклидово.
- Кольцо частных S−1R евклидова кольца R по мультипликативной системе S тоже является евклидовым. Нормой дроби x из S−1R принимается
- , где — евклидова норма в R, а — норма в S−1R.
- Деление с остатком определяется так. Пусть есть две ненулевые дроби и из S−1R. По определению нормы в S−1R существует элементы u в R и s в S, такие что и . Произведём деление с остатком в кольце R элементов rs и u:
rs = uq + r', так что . Тогда . Из построения следуют неравенства .
- Евклидовым является кольцо конечных десятичных дробей, так как оно является кольцом частных кольца целых чисел .
- Евклидовыми являются кольца рациональных функций над полем с фиксированными полюсами, так как такие кольца являются кольцами частных кольца многочленов .
Алгоритм Евклида
В евклидовом кольце осуществим алгоритм Евклида нахождения наибольшего общего делителя двух чисел (элементов). Пусть изначально даны два элемента a0 и a1, причём и . Деление с остатком даёт элемент с . Если он не равен нулю, можно опять применить деление с остатком, и получить элемент , и т. д. Таким образом генерируется цепочка значений с . Однако эта цепочка прерывается, поскольку всякое число из может строго превосходить лишь конечное количество других таких чисел. Это означает, что при некотором n остаток an+1 равен нулю, а an не равен, он и есть НОД элементов a0 и a1. Следовательно, в евклидовом кольце гарантировано завершение алгоритма Евклида. Строго говоря, именно в евклидовых кольцах и возможна реализация алгоритма Евклида.
Свойства евклидовых колец
- В евклидовом кольце каждый идеал — главный (в частности, все евклидовы кольца нётеровы).
- Пусть I — произвольный идеал в евклидовом кольце. Если он содержит лишь 0, — он главный. В противном случае среди его ненулевых элементов найдётся элемент f с минимальной нормой (принцип минимума для натуральных чисел). Он делит все остальные элементы идеала: Если g — произвольный элемент идеала I, представим его в виде g = fq + r с d(r)<d(f). Тогда r - тоже элемент идеала I и он обязан быть нулём, так как его норма меньше, чем у f. Следовательно, идеал I содержится в идеале (f). С другой стороны, всякий идеал, содержащий элемент f, содержит идеал (f). Значит, I = (f) - главный идеал.
- Каждое евклидово кольцо факториально, то есть каждый элемент представим конечным произведением простых элементов, и притом однозначно (с точностью до их перестановки и умножения на обратимые элементы). Факториальность - общее свойство всех колец главных идеалов.
- Каждое евклидово кольцо R целозамкнуто, то есть если дробь , является корнем многочлена со старшим коэффициентом, равным 1, тогда делится на . Целозамкнутость - общее свойство всех факториальных колец.
Свойства модулей над евклидовым кольцом
Пусть R - евклидово кольцо. Тогда конечнопорождённые R-модули обладают следующими свойствами:
- Всякий подмодуль N конечнопорождённого R-модуля M конечно порождён. (следствие нётеровости кольца R)
- Ранг подмодуля N не превосходит ранга модуля M. (следствие главности идеалов в R)
- Подмодуль свободного R-модуля свободен. (то же)
- Гомоморфизм конечнопорождённых R-модулей всегда приводится к нормальной форме. То есть существуют образующие (базис, если модуль свободен) модуля N, образующие (базис) модуля M, номер и - элементы кольца R, такие что делит и при i>k , а при остальных — . При этом коэффициенты определены однозначно с точностью до умножения на обратимые элементы кольца R. (Тут прямо задействована евклидовость кольца R.)
См. также
Ссылки